Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 372.10023
Autor: Erdös, Paul
Title: Some problems and results on the irrationality of the sum of infinite series. (In English)
Source: J. Math. Sci. 10, 1-7 (1975).
Review: In dieser Arbeit wird untersucht, unter welchen Bedingungen Lückenreihen, die man aus der harmonischen Reihe gewinnt, irrationale Zahlen darstellen. Unter diesen Lückenreihen fallen z.B. die Werte von \zeta(s) = sumn = 1oo\frac 1{ns} mit s = 2,3,4,...: Während Euler diese Fragestellung im Falle gerader natürlicher Zahlen s im Prinzip bereits gelöst hat, erweist sich die Untersuchung für ungerade s, etwa für s = 3, als äußerst schwierig. Der Autor zeigt, daß man bei sehr großen Lücken zu Irrationalitätsbeweisen gelangen kann. Eine Folge m1 < m2 < ... natürlicher Zahlen soll die Eigenschaft P besitzen, wenn für jede Menge S natürlicher Zahlen nk, k = 1,2,3,..., die der Relation nk\equiv 0(mod mk) genügen, die Reihe sumn in s 1/n eine irrationale Zahl darstellt. Der Autor zeigt, daß die Folge 22k die Eigenschaft P besitzt. Er stellt das Problem, Folgen mk mit der Eigenschaft P zu finden, für die limsup mk ½k < oo gilt und die Zahlen mk paarweise relativ prim sind. Außerdem beweist der Autor die beiden folgenden Sätze: Besteht die unendliche Menge S aus natürlichen Zahlen n1 < n2 < ... < nk < ..., die limsup nk ½k = oo und für ein positives \epsilon nk > k1+\epsilon erfüllen, dann ist \alpha = sumn in s 1/n irrational. Gilt zusätzlich zu den obigen Bedingungen \overline{lim} nk1/tk = oo für jede natürliche Zahl t, dann ist \alpha sogar eine Liouvillesche Zahl.
Reviewer: R.J.Taschner
Classif.: * 11J81 Transcendence (general theory)
00A07 Problem books
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