Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 331.04002
Autor: Erdös, Paul; Milner, E.C.; Rado, R.
Title: Intersection theorems for systems of sets. III. (In English)
Source: J. Aust. Math. Soc. 18, 22-40 (1974).
Review: [Die Teile I und II (von P. Erdös und R. Rado) erschienen in J. London math. Soc. 35, 85-90 (1960; Zbl 103.27901) bzw. ibid. 44, 467-479 (1969; Zbl 172.29601).] Eine Mengenfamilie (Ai)i in I heißt ein (a,b)-System, wenn |I| = a und |Ai| = b ist für alle i in I. Eine Mengenfamilie (Ai)i in I heißt \Delta-System, wenn A\mu \cap A\gamma = A\rho \cap A\sigma sofern \mu,\gamma,\rho,\sigma in I, \mu \ne \gamma, \rho \ne \sigma; sie heißt dann auch ein \Delta(|I|)-System. Ist m eine Kardinalzahl, so sei m^+ die nächstgrößere. Dazu wird folgender Satz bewiesen: Es seien m \geq \aleph0 und n < m Kardinalzahlen. Sei F = (Ai)i in I ein (m^+,m)-System mit |A\mu \cap A\gamma| < n für alle \mu \ne \gamma aus I. Dann gilt: (i) Wenn mn = m ist, dann hat F ein \Delta(m^+)-Teilsystem. (ii) Wenn mn > m ist und die verallgemeinerte Kontinuumhypothese gilt, dann hat F ein \Delta(p)-Teilsystem für jedes p < m. (iii) Die Aussage (ii) wird falsch, wenn p < m durch p \leq m ersetzt wird. Es werden ferner einige Sätze und eine Menge Hilfssätze technischen Inhalts über schwache \Delta-Systeme bewiesen: (Ai)i in I ist ein solches, wenn |A\mu \cap A\gamma| = |A\rho \cap A\sigma| für \mu,\gamma,\rho,\sigma in I, \mu \ne \gamma, \rho \ne \sigma. Zum Beispiel besagt Lemma 3: Sei a > cf a. Dann gilt: (a,b) (not)––> wk \Delta (a). Dabei bedeutet (a,b) ––> wk \Delta (c), daß jedes (a,b)-System ein schwaches \Delta(c)-Teilsystem enthält (und (not)––> dessen Negation).
Reviewer: E.Harzheim
Classif.: * 04A20 Combinatorial set theory
05A05 Combinatorial choice problems
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