Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 186.08004
Autor: Erdös, Pál; Sarközi, A.; Szemeredi, E.
Title: On the divisibility properties of sequences of integers. II (In English)
Source: Acta Arith. 14, 1-12 (1968).
Review: Es bezeichne A eine zunehmende Folge von ganzrationalen Zahlen ai und man setze A(x) = sumai < x 1 und f(x) = sumai | aj, aj < x 1. In einer vorhergehenden Arbeit bewiesen Verff., daß, falls die obere logarithmische Dichte von A positiv ist, die Ungleichung f(x) > x\exp (c1 (log2 x) ½ log3x) für eine unendliche Folge von Werten x besteht; es gibt jedoch mindestens eine Folge A, positiver logarithmischer Dichte, mit der Eigenschaft, daß f(x) < x\exp (c2 log2x) ½ log3x) für alle x gilt. (Bezeichnungen: \exp z = ez, logk x = log(logk-1x), liminfx ––> oo (A(x)/x) = untere Dichte der Folge A). Es wurde auch die Behauptung aufgestellt, daß die Positivität der Dichte A die Gleichung limx ––> oo f(x)/x = oo zur Folge hat (die Positivität der logarithmischen Dichte von A genügt nicht). Darüber hinausgehend werden nun zwei Lehrsätze bewiesen.
1) Zu jedem reellen \alpha, 1/(k+1) \leq \alpha \leq 1/k (k ganzrational), gibt es ein c1 = c1(\alpha), so daß, falls A die untere Dichte \alpha hat,
f(x) > x·\exp (c1 (logk+1x) ½ logk+2x) für alle genügend großen x gilt.
2) Zu jedem reellen \alpha mit 1/(k+1) < \alpha < 1/k, gibt es eine Folge A, deren Dichte \alpha ist und ein c2 = c2 (\alpha), so daß
liminfx ––> oo f(x) (x\exp (c2(logk+1x) ½ logk+2x))-1 = 0 gilt. Für k > 1 und \alpha ––> 1/(k+1) gilt lim c2(\alpha) = 0. Für \alpha = 1/k und jede Funktion g(x) mit limx ––> oog(x) = oo gibt es eine Folge A, deren Dichte \alpha ist, so daß
liminfx ––> oo f(x) (x\exp (g(x) (logk+1x) ½ logk+2x))-1 = 0 gilt.
Dieser zweite Satz zeigt, daß der erste "fast" bestmöglich ist. Einige mit den vorhergenden Sätzen zusammenhängende Fragen bleiben offen. Die Beweise beruhen im Prinzip auf einer Abzählung von Teilern, sind jedoch ziemlich lang, sehr scharfsinnig und nicht leicht. Sie stützen sich auf vier Hilfssätze.
Reviewer: E.Grosswald
Classif.: * 11B83 Special sequences of integers and polynomials
Index Words: number theory
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