Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 093.25702
Autor: Erdös, Pál; Surányi, János
Title: Bemerkungen zu einer Aufgabe eines mathematischen Wettbewerbs. (Remarks on an exercise of a mathematical competition.) (In Hungarian. RU, German summary)
Source: Mat. Lapok 10, 39-48 (1959).
Review: Für eine endliche nichtleere Menge M natürlicher Zahlen \mu\nu mit m = max \mu\nu und für eine natürliche Zahl k \leq m werde mit A(M,k) die Aussage bezeichnet, daß es in jeder Menge M von m aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen k verschiedene Elemente gibt, deren Produkt durch das Produkt der Elemente von M teilbar ist. Z.B. ist A(M,m) für M = {1,...,m} bekanntlich richtig.
Die Aufgabe 6 des "M. Schweitzer mathematischen Wettbewerbes" im Jahr 1954 war, ob A(M,{\overline{\overline{M}}}) für \overline{\overline{M}} = 2 und 3 richtig ist (\overline{\overline{M}} = Kardinalzahl von M). Im ersten Fall ist die Antwort bejahend, im zweiten verneinend, wie das Beispiel M = {7 · 11 ,7· 13, 11· 13}, M = {5935,...,6077} zeigt. Die Verff. beweisen: Für M = {a,b,c} (a < b < c) mit (a,b,c) = 1 ist A(M,3) dann und nur dann falsch, wenn a = uv, b = uw, c = vw, w < 2 u (u,v,w Primzahlen), dagegen gilt A(m,4) sogar ohne die Annahme (a,b,c) = 1. Man definiere die Aussage A\lambda(M,k) für \lambda > 1 mit der Änderung, daß für M die Menge der natürlichen Zahlen in jedem Intervall von der Länge \lambda m zugelassen wird. Für alle M = { a,b,c} (a < b < c) gilt dann A\lambda(M,3) genau nur für \lambda \geq \sqrt 2.
Es wird noch folgendes Problem gestellt: Wann ist die offenbar existierende kleinste positive Zahl f(n) (n = 2,3,...) so beschaffen, daß für beliebige natürliche Zahlen a1 < ··· < an jede Menge von mindestens f(n)an aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen eine Untermenge von der Form {c1a1,...,cnan} enthält (c1,...,cn ganz). Es wird c(log n)\alpha < f(n) < c'\sqrt n gezeigt (c,c',\alpha passende positive Konstanten).
Reviewer: L.Rédei
Classif.: * 11A41 Elemementary prime number theory
Index Words: number theory
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