Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 083.03701
Autor: Erdös, Pál
Title: Solution of two problems of Jankowska. (In English. RU summary)
Source: Bull. Acad. Pol. Sci., Sér. Sci. Math. Astron. Phys. 6, 545-547 (1958).
Review: Von S.Jankowska (vgl. vorstehendes Referat, Zbl 083.03603) wurde die Frage gestellt, ob es unendlich viele Paare teilerfremder natürlicher Zahlen a,b gibt, für die gleichzeitig gilt: \phi(a) = \phi(b), \sigma(a) = \sigma(b), d(a) = d(b) (wobei \phi die Eulersche \phi-Funktion, \sigma die Summe der Teiler, d deren Anzahl bedeutet); ferner, ob für jedes k ein k-Tupel natürlicher Zahlen a1,a2,...,ak existiert, für das gilt: ai \ne aj, \phi(ai) = \phi(aj), \sigma(ai) = \sigma(aj), d(ai) = d(aj) für alle 1 \leq i < j \leq k. Der Verf. beweist, daß die beiden Vermutungen richtig sind und führt eine Reihe eigener – bisher unbewiesener – Vermutungen an:
1. Kann man zusätzlich (ai,aj) = 1 verlangen?
2. Sei A(n) die Anzahl der Lösungen von \phi(x) = n; gilt dann sumn \leq x A(n)2 > x2-\epsilon?
3. Gilt A(n) > n1-\epsilon für unendlich viele n ?
4. Kann man für jedes \epsilon > 0 eine Folge von aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen n+i, 1 \leq i \leq n1-\epsilon finden, für die \phi (n+i1) \ne \phi (n+i2) ist (für alle 0 \leq i1 \leq i2 \leq n1-\epsilon)?
Reviewer: K.Prachar
Classif.: * 11A25 Arithmetic functions, etc.
Index Words: number theory
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