Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 050.38902
Autor: Erdös, Paul; Rogers, C.A.
Title: The covering of n-dimensional space by spheres. (In English)
Source: J. London Math. Soc. 28, 287-293 (1953).
Review: Es sei \thetan^* das Infimum der Dichten der Überlagerung des Rn durch Kugeln von gleichen Radius. \thetan sei analog definiert, wo aber verlangt wird, daß die Mittelpunkte der Kugeln ein n-dimensionales Gitter bilden (reguläre Überdeckung). R.P.Bambah und H.Davenport (Zbl 047.05101) haben gezeigt, daß \thetan > 4/3 -\epsilonn, wo \epsilonn ––> 0 geht für n ––> oo. Die Verff. zeigen nun \thetan^* > 16/15 -\epsilonn (\epsilon ––> 0 für n ––> oo). Der Beweis dieser Abschätzung benützt die gleiche Methode wie früher. Es werden wieder konvexe Polyeder \Pi betrachtet, welche den Rn einfach und lückenlos überdecken, und jedes Polyeder ist einer zugehörigen Kugel der Überdeckung eingeschrieben. Dann ist die Anzahl N der Seitenflächen von \Pi abzuschätzen ("es sollen nicht zu viele sein"; dies geht für den regulären Fall leicht, ist aber schwieriger).
Es wird N \leq \thetan^* 4n-1 gezeigt, und dann das Volumen von \Pi im Vergleich zum Volumen der umgeschriebenen Kugeln abzuschätzen. Ist N = [4n \thetan^*-1] und VN das Volumen der größten Polyeder mit N Seitenflächen, welche in eine Kugel vom Radius 1 eingeschrieben werden, so ist ja \theta^*n \geq Jn/VN,Jn Volumen der Kugel. Im regulären Fall liegt der Fußpunkt der Lote vom Mittelpunkt der Kugel auf die Seitenflächen von \Pi stets innerhabl der Seitenfläche.
Im allgemeinen Fall ist dies aber nicht so. Hier wird nun folgender Satz von C. A. Rogers benützt. Ist V(\Pi) das Volumen eines konvexen Polyeders von N Seitenflächen in einer Kugel vom Radius 1 und Volumen Jn (im Rn) dann ist {Jn \over V(\Pi)} \geq int01 (1-\bar C\delta (1-t\delta))-n/2 dt, \delta = {2 \over n-1}, \bar C = {n V(\Pi) \over N Jn-1}. Streben die n,N gegen oo, so daß N1/n gegen einen Limes \lambda strebt, dann ist limsup {V(\Pi) \over Jn} \leq 1- {1 \over \lambda2}. Da der Beweis dieses Satzes von Rogers kompliziert ist, so zeigen die Verff. in der Arbeit die schwächere Abschätzung Jn/V(\Pi) \geq (1-\bar C\delta)- ½ \overline{lim} V(\Pi) Jn \leq (1-\lambda-2) ½, welches \theta^*n > (16/15) ½-\epsilonn heißt.
Reviewer: E.Hlawka
Classif.: * 11H31 Lattice packing and covering (number-theoretic results)
11H06 Lattices and convex bodies (number theoretic results)
52C17 Packing and covering in n dimensions (discrete geometry)
Index Words: metric geometry, convex geometry, integral geometry
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