Уважаемые авторы, просим обратить внимание!
Подача статьи осуществляется только через личный кабинет электронной редакции.
DOI: 10.46698/l0065-2825-9087-l
Результаты существования для функционально возмущенных дифференциальных уравнений дробного порядка с запаздыванием в банаховых пространствах
Хелал М.
Владикавказский математический журнал. 2023. Том 25. Выпуск 1.С.112-130.
Аннотация: В данной работе мы приводим достаточные условия существования решений начальной задачи для функционально возмущенных гиперболических дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядок с участием дробной производной Капуто с запаздыванием, зависящим от состояния, сводя исследование к поиску существования и единственности неподвижных точек соответствующих операторов. Наш основной результат для этой задачи основан на нелинейной альтернативной теореме о неподвижной точке Бертона и Кирка для суммы вполне непрерывного оператора и сжатия в банаховых пространствах и дробной версии неравенства Гронуолла. Чтобы получить результаты существования необходимо принимать во внимание как структуру пространства, так и свойства возникающих операторов. Насколько нам известно, очень мало работ, посвященных уравнениям дробных производных с конечным и/или бесконечным постоянным запаздыванием на ограниченных областях. В этом направлении возникает множество проблемных вопросов относительно существования решений в весовых пространствах непрерывных функций, единственности решения, строения множества решений, а также того, являются ли оптимальными условия, которым подчинены рассматриваемые операторы. Данную статью можно рассматривать как вклад в указанную проблематику. Приведены также иллюстрирующие примеры.
Ключевые слова: уравнение в частных производных, дробный порядок, решение, левосторонний смешанный интеграл Римана - Лиувилля, дробная производная Капуто, зависящая от состояния запаздывание, неподвижная точка
Образец цитирования: Helal M. Existence Results for Functional Perturbed Differential Equations
of Fractional Order with State-Dependent Delay in Banach Spaces // Владикавк. мат. журн. 2023. Т. 25, № 1. C.112-130 (in English).
DOI 10.46698/l0065-2825-9087-l
1. Diethelm, K. and Freed, A. D. On the Solution of Nonlinear Fractional
Order Differential Equations Used in the Modeling of Viscoplasticity,
Scientific Computing in Chemical Engineering II,
Computational Fluid Dynamics, Reaction Engineering and Molecular Properties,
F. Keil, W. Mackens, H. Voss, and J. Werther eds.,
Heidelberg, Springer-Verlag, 1999, pp. 217-224,
2. Miller, K. S. and Ross, B. An Introduction to the Fractional
Calculus and Differential Equations, New York, John Wiley, 1993.
3. Podlubny, I. Fractional Differential Equations: An Introduction to Fractional Derivatives,
Fractional Differential Equations, to Methods of Their Solution and Some of their
Applications, San Diego, Academic Press, 1999.
4. Abbas, S. and Benchohra, M. Partial Hyperbolic Differential Equations with Finite Delay
Involving the Caputo Fractional Derivative, Communications in Mathematical Analysis,
2009, vol. 7, no. 2, pp. 62-72.
5. Abbas, S. and Benchohra, M. Darboux Problem for Perturbed Partial Differential Equations
of Fractional Order with Finite Delay, Elsevier Nonlinear Analysis: Hybrid Systems,
2009, vol. 3, no. 4, pp. 597-604. DOI: 10.1016/j.nahs.2009.05.001.
6. Benchohra, M., Henderson, J., Ntouyas, S. K. and Ouahab A. Existence Results
for Functional Differential Equations of Fractional Order,
Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2008, vol. 338,
pp. 1340-1350. DOI: 10.1016/j.jmaa.2007.06.021.
7. Hale, J. K. and Verduyn Lunel, S. M. Introduction to Functional Differential Equations,
Applied Mathematical Sciences, vol. 99, New York, Springer-Verlag, 1993.
8. Lakshmikantham, V., Wen, L. and Zhang, B. Theory of Differential Equations with Unbounded Delay,
Mathematics and its Applications, vol. 298, Dordrecht, Kluwer Academic Publishers, 1994.
9. Corduneanu, C. and Lakshmikantham, V. Equations with Unbounded Delay,
Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications,
1980, vol. 4, no. 5, pp. 831-877. DOI: 10.1016/0362-546X(80)90001-2.
10. Wille, D. R. and Baker, C. T. H. Stepsize Control and Continuity Consistency
for State-Dependent Delay-Differential Equations, Journal of Computational and Applied Mathematics,
1994, vol. 53, no. 2, pp. 163-170. DOI: 10.1016/0377-0427(94)90043-4.
11. Anguraj A., Arjunan, M. M. and Hernandez, E. M. Existence Results for
an Impulsive Neutral Functional Differential Equation with State-Dependent Delay,
Applicable Analysis, 2007, vol. 86, no. 7, pp. 861-872. DOI: 10.1080/00036810701354995.
12. Hartung, F. Linearized Stability for a Class of Neutral
Functional Differential Equations with State-Dependent Delays,
Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications,
2008, vol. 69, no. 5-6, pp. 1629-1643. DOI: 0.1016/j.na.2007.07.004.
13. Hernandez, E., Sakthivel, R. and Tanaka Aki, S. Existence Results
for Impulsive Evolution Differential Equations with
State-Dependent Delay, Electronic Journal of Differential Equations,
2008, no. 28, pp. 1-11.
14. Darwish, M. A. and Ntouyas, S. K. Semilinear Functional Differential
Equations of Fractional Order with State-Dependent Delay, Electronic
Journal of Differential Equations,2009, no. 38, pp. 1-10.
15. Benchohra, M. and Hellal, M. Perturbed Partial Functional Fractional
Order Differential Equations with Infinite Delay, Journal of Advanced Research
in Dynamical and Control System, 2013, vol. 5, no. 2, pp. 1-15.
16. Benchohra, M. and Hellal, M. Perturbed Partial Fractional Order Functional Differential
Equations with Infinite Delay in Frechet Spaces, Nonlinear Dynamics and System Theory,
2014, vol. 14, no. 3, pp. 244-257.
17. Helal, M. Perturbed Partial Functional Differential Equations
on Unbounded Domains with Finite Delay, Applied Mathematics E-Notes,
2020, vol. 20, pp. 82-92.
18. Helal, M. On Fractional Differential Perturbed Equations
with State-Dependent Delay in Frechet Spaces, Nonlinear Studies,
2021, vol. 28, no. 4, pp. 1085-1106.
19. Vityuk, A. N. and Golushkov, A. V. Existence of Solutions of Systems of Partial
Differential Equations of Fractional Order, Nonlinear Oscillations, 2004, vol. 7, no. 3, pp. 318-325.
DOI: 10.1007/s11072-005-0015-9.
20. Henry, D. Geometric Theory of Semilinear Parabolic
Partial Differential Equations, Lecture Notes in Mathematics, vol. 840,
Berlin-New York, Springer-Verlag, 1981.
21. Burton, T. A. and Kirk, C. A Fixed Point Theorem of Krasnoselskii-Schaefer Type,
Mathematische Nachrichten, 1998, vol. 189, pp. 23-31.
DOI: 10.1002/MANA.19981890103.
22. Hale, J. and Kato, J. Phase Space for Retarded Equations with Infinite Delay,
Funkcialaj Ekvacioj, 1978, vol. 21, pp. 11-41.
23. Hartung, F. Differentiability of Solutions with Respect to Parameters
in Neutral Differential Equations with State-Dependent Delays,
Journal of Mathematical Analysis and Applications,
2006, vol. 324, no. 1, pp. 504-524. DOI: 10.1016/j.jmaa.2005.12.025.
24. Hino, Y., Murakami, S. and Naito, T. Functional Differential Equations
with Infinite Delay,Lecture Notes in Mathematics, vol. 1473, Berlin, Springer-Verlag, 1991.
25. Czlapinski, T. On the Darboux Problem for Partial Differential-Functional
Equations with Infinite Delay at Derivatives, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications,
2001, vol. 44, no. 3, pp. 389-398. DOI: 10.1016/S0362-546X(99)00275-8.
26. Czlapinski, T. Existence of Solutions of the Darboux Problem
for Partial Differential-Functional Equations with Infinite Delay in
a Banach Space, Commentationes Mathematicae, 1995, vol. 35, pp. 111-122.
27. Hernandez, E., Prokopczyk, A. and Ladeira, L. A Note on Partial
Functional Differential Equations with State-Dependent Delay,
Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2006, vol. 7, no. 4, pp. 510-519.
DOI: 10.1016/j.nonrwa.2005.03.014.
