Аннотация: В данной работе рассматриваются линейные ограниченные самосопряженные интегральные операторы \(T_1\) и \(T_2\) в гильбертовом пространстве \(L_2([a,b]\times[c,d])\), так называемые частично интегральные операторы. Частично интегральный оператор \(T_1\) действует на функцию \(f(x,y)\) по первому аргументу и выполняет определенное интегрирование по аргументу \(x\), а частично интегральный оператор \(T_2\) действует на функцию \(f(x,y)\) по второму аргументу и выполняет определенное интегрирование по аргументу \(y\). Оба оператора является ограниченными, однако оба не являются компактными операторами. Однако оператор \(T_1T_2\) является компактным и \(T_1T_2=T_2T_1\). Частично интегральные операторы возникают в различных областях механики, теории интегро-дифференциальных уравнений и теории операторов Шредингера. В работе исследованы спектральные свойства линейных ограниченных самосопряженных частично интегральных операторов \(T_1\), \(T_2\) и \(T_1+T_2\) с невырожденными ядрами. Получена формула для описания существенных спектров частично интегральных операторов \(T_1\) и \(T_2\). Показано, что дискретный спектр у операторов \(T_1\) и \(T_2\) отсутствует. Доказана теорема о структуре существенного спектра частично интегрального оператора \(T_1+T_2\). Изучена задача о существовании счетного числа собственных значений в дискретном спектре частично интегрального оператора \(T_1+T_2\).
Култураев Д. Ж., Эшкабилов Ю. Х. О спектральных свойствах самосопряженных частично интегральных операторов с невырожденными ядрами // Владикавк. мат. журн. 2022. Т. 24, вып. 4. C. 91-104.
1. Векуа И. Н. Новые методы решения эллиптических уравнений. М.: Наука, 1948. 296 с.
2. Aleksandrov V. M., Kovalenko E. V. On a class of integral
equations in mixed problems of continum mechanics // Soviet Phys.
Dokl. 1980. Vol. 25, № 2. P. 354-356.
3. Aleksandrov V. M., Kovalenko E. V. Contact interaction of bodies
with coatings in the presense of abrasion // Soviet Phys.
Dokl. 1984. Vol. 29, № 4. P. 340-342.
4. Manzhirov A. V. On a method for solving two-dimensional
integral equation for exially symmetric contact problem for bodies
with complex layer rheology // J. Appl. Math. Mech. 1985. Т. 49, № 6. P. 777-782.
DOI: 10.1016/0021-8928(85)90016-4.
5. Гурса Э. Курс математического анализа. Т. 3, ч. 2. М.-Л., 1934. 318 с.
6. Мюнтц Г. Интегральные уравнения. Т. 1. Л.-М., 1934. 330 с.
7. Эшкабилов Ю. Х. Об одном дискретном "трехчастичном" операторе
Шредингера в модели Хаббарда // Теорет. и мат. физ. 2006. Т. 149, № 2.
С. 228-243. DOI: 10.4213/tmf4229.
8. Albeverio S., Lakaev S. N., Muminov Z. I. On the number of eigenvalues of a model
operator associated to a system of three-particles on lattices //
Russ. J. Math. Phys. 2007. Vol. 14, № 4. P. 377-387. DOI: 10.1134/S1061920807040024.
9. Расулов Т. Х. Асимптотика дискретного спектра одного
модельного оператора, ассоциированного с системой трех частиц на
решетке // Теорет. и мат. физ. 2010. Т. 163, № 1. С. 34-44. DOI: 10.4213/tmf6485.
10. Appell J. M, Kalitvin A. S., Nashed M. Z. On some partial integral equations arising
in the mechanics of solids // Z. Angew. Math. Mech. 1999. Vol. 79, № 10. P. 703-713.
11. Калитвин А. С. Линейные операторы с частными интегралами. Воронеж: ЦЧКИ, 2000. 252 с.
12. Appell J. M., Kalitvin A. S., Zabrejko P. P. Partial Integral
Operators and Integro-Differential Equations. N.Y., 2000. 578 p.
DOI: 10.1201/9781482270402.
13. Калитвин А. С. О спектре линейных операторов с частными интегралами и положительными ядрами //
Операторы и их приложения: Межвуз. сб. науч. тр. Ленинград, 1988. С. 43-50.
14. Kalitvin A. S., Zabrejko P. P. On the theory of partial integral operators //
J. Integral Equ. Appl. 1991. Vol. 3, № 3.-P. 351-382. DOI: 10.1216/jiea/1181075630.
15. Калитвин А. С., Калитвин В. А. Линейные операторы и уравнения с частными интегралами //
Соврем. матем. Фундам. напрвления. 2019. Т. 65, № 3. С. 390-433. DOI: 10.22363/2413-3639-2019-65-3-390-433.
16. Эшкабилов Ю. Х. О спектре тензорной суммы компактных операторов //
Узбек. мат. журн. 2005. № 3. С. 104-112.
17. Эшкабилов Ю. Х. Частично интегральный оператор с ограниченным
ядром // Мат. тр. 2008. Т. 11, № 1. С. 192-207.
18. Эшкабилов Ю. Х. Существенный и дискретный спектры частично интегральных операторов // Мат. тр. 2008. Т. 11, № 2. С. 187-203.
19. Эшкабилов Ю. Х. О дискретном спектре частично интегральных операторов //
Мат. тр. 2012. Т. 15, № 2. С. 194-203.
20. Арзикулов Г. П., Эшкабилов Ю. Х.
О существенном и дискретном спектрах одного частично
интегрального оператора типа Фредгольма // Мат. тр. 2014. Т. 17, № 2. С. 23-40.
21. Arzikulov G. P., Eshkabilov Yu. Kh. On the spectra of partial integral operators // Uzbek Math. J. 2015. № 2. P. 148-159.
22. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 1. Функциональный анализ. М.: Мир, 1977. 412 с.
23. Pankrashkin K. Introduction to the Spectral Theory. Orsay, 2014.
24. Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 750 с.
25. Эшкабилов Ю. Х. О бесконечности дискретного спектра
операторов в модели Фридрихса // Мат. тр. 2011. Т. 14, № 1. С. 195-211.
