Аннотация: Рассмотрена задача деформирования слоистого прямоугольника, нижняя сторона которого жестко защемлена, на верхней стороне действует распределенная нормальная нагрузка, а боковые стороны находятся в условиях скользящей заделки. Для учета масштабных эффектов применяется однопараметрическая градиентная теория упругости. Граничные условия на боковых гранях допускают применение метода разделения переменных. Перемещения и механическая нагрузка были разложены в ряды Фурье. Для нахождения гармоник перемещений имеем систему двух дифференциальных уравнений четвертого порядка. Решение системы дифференциальных уравнений основано на введении упругого потенциала перемещений. Неизвестные константы интегрирования находят путем удовлетворения граничных условий и условий сопряжения, записанных для гармоник перемещений. На конкретных примерах проведены вычисления горизонтального и вертикального распределения перемещений, моментных и полных напряжений слоистого прямоугольника. Показано отличие распределений перемещений и напряжений, найденных на основе решений задачи в классической постановке и в градиентной постановке. Выяснено, что полные напряжения испытывают небольшой скачок на линии сопряжения, обусловленный тем, что согласно градиентной теории упругости на линии сопряжения должны быть непрерывны не полные напряжения, а компоненты векторов нагрузки. Выявлено значительное влияние увеличения масштабного параметра на изменения значений перемещений, полных и моментных напряжений.
Образец цитирования: Ватульян А. О., Нестеров С. А. Масштабно-зависимая модель деформирования слоистого прямоугольника //
Владикавк. мат. журн. 2021. Т. 24, вып. 4. С. 48-57. DOI 10.46698/v8145-3776-3524-q
1. Aifantis E. C. Gradient effects at the macro, micro and nano scales //
J. Mech. Behav. Mater. 1994. № 5. P. 335-353. DOI: 10.1515/JMBM.1994.5.3.355.
2. Toupin R. A. Elastic materials with couple stresses //
Arch. Rational Mech. Anal. 1962. Vol. 11. P. 385-414. DOI: 10.1007/BF00253945.
3. Mindlin R. D. Micro-structure in linear elasticity //
Arch. Rational Mech. Anal. 1964. Vol. 16. P. 51-78. DOI: 10.1007/BF00248490.
4. Ru C. Q., Aifantis E. C. A simple approach to solve boundary value problems in
gradient elasticity // Acta Mech. 1993. Vol. 101. P. 59-68.
5. Papargyri-Beskou S., Tsinopoulos S. Lame's strain potential method for plane
gradient elasticity problems // Arch. Appl. Mech. 2015. Vol. 85, № 9-10. P. 1399-1419. DOI: 10.1007/s00419-014-0964-5.
6. Charalambopoulos A., Tsinopoulos S. V., Polyzos D.
Plane strain gradient elastic rectangle in bending // Arch. Appl. Mech. 2020. DOI: 10.1007/s00419-019-01649-3.
7. Solyaev Y. O., Lurie S. A. Trefftz collocation method for two-dimensional
strain gradient elasticity // International Journal for Numerical Methods in
Engineering. 2020. DOI: 10.1002/nme.6563.
8. Li A., Zhou S., Wang B. A. Size-dependent bilayered microbeam model based
on strain gradient elasticity theory // Compos. Struct. 2014. Vol. 108. P. 259-266. DOI: 10.1016/j.compstruct.2013.09.020.
9. Guangyang F., Shenjuie Z., Lu Q. The size-dependent static bending of a
partially covered laminated microbeam // Int. J. Mech. Sci. 2019. Vol. 152. P. 411-419. DOI: 10.1016/j.ijmecsci.2018.12.037.
10. Lurie S. A., Solyaev Yu. O., Rabinsky L. N., Kondratova Yu. N., Volov M. I. Simulation of the stress-strain state of thin composite coating based on
solutions of the plane problem of strain-gradient elasticity for layer // Vestnik PNIPU. Mekhanika - PNRPU Mechanics Bulletin. 2013. № 1. P. 161-181.
11. Vatulyan А. О., Nesterov S. А. On the deformation of a composite rod in
the framework of gradient thermoelasticity //
Materials Physics Mechanics. 2020. Vol. 46. P. 27-41. DOI: 10.7242/1999-6691/2021.14.3.21.
12. Ватульян А. О., Нестеров С. А., Юров В. О. Решение задачи градиентной
термоупругости для цилиндра с термозашитным покрытием // Вычислительная механика сплошных сред. 2021. Т. 14, № 3. C. 253-264. DOI: 10.7242/1999-6691/2021.14.3.21.
13. Ватульян А. О., Нестеров С. А., Юров В. О. Исследование напряженно-деформированного состояния полого цилиндра с покрытием на основе градиентной модели термоупругости // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2021. Т. 163, кн. 2. C. 181-196. DOI: 10.26907/2541-7746.2021.2.181-196.
14. Ватульян А. О., Нестеров С. А. Решение задачи градиентной термоупругости для полосы с покрытием // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2021. № 4. C. 60-70. DOI: 10.15593/perm.mech/2021.4.07.
