Аннотация: В прямоугольной области исследуются начально-краевые задачи для одномерных по пространству обобщенных уравнений конвекции-диффузии с оператором Бесселя и дробными производными в смысле Римана - Лиувилля и Капуто порядка \(\alpha\) (0<\(\alpha\)<1) и с граничные условия первого и третьего рода. Уравнение конвекции-диффузии дробного порядка с оператором Бесселя возникает при переходе от трехмерного уравнения конвекции-диффузии дробного порядка к цилиндрическим (сферическим) координатам, в случае, когда решение \(u=u(r)\) не зависит ни от \(z\), ни от \(\varphi\). Для численного решения рассматриваемых задач строятся монотонные разностные схемы второго порядка точности по параметрам сетки, аппроксимирующие эти задачи на равномерных сетках. С помощью метода энергетических неравенств для решения начально-краевых задач получены априорные оценки в дифференциальной и разностной трактовках при предположении существования регулярного решения исходной дифференциальной задачи. Из полученных априорных оценок следуют единственность и устойчивость решения по правой части и начальным данным, а также в силу линейности разностных задач сходимость решения соответствующей разностной задачи к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью \(O(h^2+\tau^2)\).
Ключевые слова: обобщенное уравнение, уравнение конвекции-диффузии, уравнение дробного порядка, дробная производная в смысле Римана - Лиувилля, дробная производная в смысле Капуто, устойчивость и сходимость, краевые задачи, априорная оценка
Образец цитирования: Бештоков М. Х., Бештокова З. В. Метод сеток приближенного решения начально-краевых задач для обобщенных уравнений конвекции-диффузии // Владикавк. мат. журн. 2021. Т. 23, вып. 3. C. 27-44.
DOI 10.46698/a6614-5398-1568-d
1. Mandelbrojt S. Sulla generalizzazione del calcolo clelle variazione //
Atti Reale Accad. Naz. Lincei. Rend Cl. Sei., Fis.
Mat. e Natur. 1925. Vol. 6, № 1. P. 151-156.
2. O’Shaughnessy L., Post E. L. Solutions of problems: Calculus: 433 //
Amer. Math. Month. 1918. Vol. 25, № 4. P. 172-173. DOI: 10.2307/2973123.
3. Al-Bassam M. A. On fractional calculus and its applications to the theory of ordinary differential equations of generalized order // Nonlinear Analysis and Applications. New York: Dekker, 1982. Vol. 80. P. 305-331. (Lect. Notes Pure Appl. Math.).
4. Al-Abedeen A. Z., Arora H. L. A global existence and uniqueness theorem for ordinary differential equations of generalized order // Canad. Math. Bull. 1978. Vol. 21, № 3. P. 267-271. DOI: 10.4153/cmb-1978-047-1.
5. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
6. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003. 272 с.
7. Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткин И. А., Юрков Ю. И.
Некоторые особенности вычислительных алгоритмов для уравнений дробной диффузии. М.: ИБРАЭ РАН, 2002. 57 с. (Препринт № IBRAE-2002-01).
8. Головизнин В. М., Киселев В. П., Короткин И. А.
Численные методы решения уравнения дробной диффузии с дробной производной по времени в одномерном случае. М.: ИБРАЭ РАН, 2002. 35 с. (Препринт № IBRAE-2002-10).
9. Таукенова Ф. И., Шхануков-Лафишев М. Х.
Разностные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений дробного порядка // Журн. вычисл. матем. и мат. физ. 2006. Т. 4, № 10. С. 1871-1881.
10. Diethelm K., Walz G. Numerical solution of fractional order
differential equations by extrapolation //
Numer. Algorithms. 1997. Vol. 16, № 3-4. P. 231-253.
DOI: 10.1023/a:1019147432240.
11. Алиханов А. А. Априорные оценки решений краевых задач для уравнений дробного порядка //
Диф. уравнения. 2010. Т. 46, № 5. C. 658-664.
12. Alikhanov A. A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation //
J. Comput. Phys. 2015. Vol. 280. P. 424-438. DOI: 10.1016/j.jcp.2014.09.031.
13. Бештоков М. Х. Краевые задачи для нагруженных псевдопараболических
уравнений дробного порядка и разностные методы их решения //
Изв. вузов. Математика. 2019. № 2. С. 3-12.
DOI: 10.26907/0021-3446-2019-2-3-12.
14. Бештоков М. Х., Водахова В. А. Нелокальные краевые задачи для уравнения конвекции-диффузии дробного порядка // Вестн. Удмурт. ун-та. Матем. Мех. Компьют. науки. 2019. Т. 29, № 4. С. 459-482.
DOI: 10.20537/vm190401.
15. Бештоков М. Х. Разностный метод решения нелокальной краевой задачи для вырождающегося псевдопараболического уравнения третьего порядка с переменными коэффициентами // Журн. вычисл. матем. и мат. физ. 2016. Т. 56, \No. 10. С. 1780-1794.
DOI: 10.7868/S0044466916100045.
16. Бештоков М. Х. Краевые задачи для вырождающихся и невырождающихся уравнений Соболевского типа с нелокальным источником в дифференциальной и разностной трактовках //
Диф. уравнения. 2018. Т. 54, № 2. С. 249-266.
DOI: 10.1134/S0374064118020115.
17. Бештоков М. Х. Краевые задачи для уравнения влагопереноса с дробной производной Капуто и оператором Бесселя // Диф. уравнения. 2020. Т. 56, № 3. С. 353-365. DOI: 10.1134/ S0374064120030073.
18. Кумыкова С. К. Об одной краевой задаче для уравнения \({\rm sign}\,y^m u_{xx} + u_{yy}\) = 0\) // Диф. уравнения. 1976. Т. 12, № 1. С. 79-88.
19. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 407 с.
20. Мальшаков А. В. Уравнения гидродинамики для пористых сред со структурой порового пространства, обладающей фрактальной геометрией // Инж.-физ. журн. 1992. Т. 62, № 3. С. 405-410.
21. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1983. 617 с.
22. Бештоков М. Х. К краевым задачам для вырождающихся псевдопараболических
уравнений с дробной производной Герасимова Капуто // Изв. вузов. Математика. 2018. № 10. С. 3-16.
