Семенко Е. В.
Связь голоморфных векторных расслоений и когомологий на римановой поверхности с краевыми задачами сопряженияУстанавливается связь между голоморфными векторными расслоениями на компактной римановой поверхности и решением однородной краевой задачи сопряжения аналитических функций, с одной стороны, и между когомологиями и решением неоднородной задачи, с другой стороны. Установлено, что проблема построения общего решения однородной задачи для произвольного коэффициента краевого условия равнозначна задаче классификации голоморфных векторных расслоений. Решение неоднородной задачи эквивалентно анализу разрешимости 1-коциклов с коэффициентами в пучке сечений расслоения, в частности, условия разрешимости неоднородной задачи задают препятствия к разрешимости 1-коциклов, т. е. первую группу когомологий. Эта связь дает возможность использовать в теории векторных расслоений методы и результаты теории краевых задач. Полученные утверждения позволяют уточнить место теории краевых задач в общей теории римановых поверхностей.
E. V. Semenko
Connection between holomorphic vector bundles and cohomology on a Riemann surface and conjugation boundary value problemsThis paper studies interconnections between holomorphic vector bundles on compact Riemann surfaces and the solution of the homogeneous conjugation boundary value problem for analytic functions on the one hand, and cohomology and the solution of the inhomogeneous problem on the other. We establish that constructing the general solution to the homogeneous problem with arbitrary coefficients in the boundary conditions is equivalent to classifying holomorphic vector bundles. Solving the inhomogeneous problem is equivalent to checking the solvability of 1-cocycles with coefficients in the sheaf of sections of a bundle; in particular, the solvability conditions in the inhomogeneous problem determine obstructions to the solvability of 1-cocycles, i.e. the first cohomology group. Using this connection, we can apply the methods of boundary value problems to vector bundles. The results enable us to elucidate the role of boundary value problems in the general theory of Riemann surfaces.
DOI 10.17377/smzh.2017.58.214
Ключевые слова: риманова поверхность, голоморфное векторное расслоение, первая группа когомологий, краевая задача на римановой поверхности.Полный текст статьи / Full texts: