Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 492.10037
Autor: Erdös, Paul; Sárközy, András
Title: Some asymptotic formulas on generalized divisor functions. III. (In English)
Source: Acta Arith. 41, 395-411 (1982).
Review: Die Verfasser setzen ihre früheren Untersuchungen [Teil I, Turá-Gedenkband der Ungarischen Akademie der Wissenschaften (erscheint demnächst); Teil II, J. Number Theory 15, 115-136 (1982; Zbl 488.10043)] fort mit dem Ziel, für Teilmengen A\subsetN Aussagen über die Größenordnung von DA(x)mmaxa in A,a < xdA(n), wobei dA(n) = sumd|n,d in A1 ist, zu erhalten. Mißt fA(x) = suma in A,a < x1 \leq n \leq x 1/a die ``Dichte'' von A, so sind die Verfasser daran interessiert, ob DA(x)/fA(x) unbeschränkt sein kann. Sie zeigen: Für jedes \omega > 0 gilt: Ist x > X0(\omega) fixiert, so hat die Bedingung (*) fA(x) > (log log x)20 die untere Abschätzung DA(x) > \omega· fA(x) (für denselben Wert von x) zur Folge. [Die Verfasser skizzieren, daß sich der Exponent 20 in (*) noch erheblich verbessern läßt.]
Weiterhin: Zu jedem \omega > 0 gibt es ein X4(\omega), so daß für x > X4 DA(x) > \omega· fA(x) gilt, falls nur fA(y) > 22 log log log y ist, wobei y = \exp{ log x·(log log x)-21} ist. Und, um die Schärfe des vorangehenden Satzes zu beleuchten: Es gibt positive Konstanten c', c'', X5 und eine unerhebliche Folge A\subsetN, für die fA(x) > c'· log log log x für alle x > X5 ist, aber zugleich liminfx ––> ooDA(x)/fA(x) < c'' gilt.
Reviewer: W.Schwarz
Classif.: * 11N37 Asymptotic results on arithmetic functions
Keywords: generalized divisor function; lower bounds for divisor function
Citations: Zbl.488.10043
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