Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 442.10037
Autor: Erdös, Paul
Title: Some applications of Ramsey's theorem to additive number theory. (In English)
Source: Eur. J. Comb. 1, 43-46 (1980).
Review: Eine (endliche oder unendliche) Folge A von natürlichen Zahlen a1 < a2 < ... heißt Br(k)-Folge, wenn k die kleinste Zahl ist, für die sich jede Zahl n auf höchstens k verschiedene Arten als Summe von maximal r Elementen von A darstellen läßt. (B2(1)-Folgen sind die bekannten B2-Folgen.) Verf. weist auf einige, mit Br(k)-Folgen zusammenhängende, Vermutungen hin und beweist: (1) Es gibt eine B2(3)-Folge, so daß in jeder ihrer Zerlegungen in endlich viele Teilfolgen mindestens eine B2(3)-Folge vorkommt. (2) Eine zu (1) analoge Aussage gilt, statt für k = 3, auch für alle k = 2s und alle k = ½ \binom{2s}{s}(s in N). (Vermutet wird die Gültigkeit für alle k in N. Nach einem Korrekturzusatz soll diese Vermutung inzwischen von I.Nesetril und V.Rödl bewiesen sein.) (3) Hn(k) sei die größte unter allen Zahlen \ell, für die es immer möglich ist, aus einer B2(k)-Folge mit n Elementen eine B2-Folge mit \ell Elementen auszuwählen. Dann gilt Hn(2) < c n 3/4 , Hn(4) < c n 2/3 . In den Beweisen benutzt der Verf. den Satz von Ramsey, wonach in jeder Zerlegung eines vollständigen Graphen G mit m Ecken in \ell kantendisjunkte Graphen ein vollständiger Graph mit n Ecken vorkommt, falls die Zahl der Ecken von G hinreichend groß (m > \elll(n-2)-1) ist.
Reviewer: A.Mrose
Classif.: * 11B83 Special sequences of integers and polynomials
11B13 Additive bases
Keywords: applications of Ramsey's theorem; B2 sequence
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