Zentralblatt MATH

Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No:  235.20004
Autor:  Erdös, Paul; Turán, Paul
Title:  On some problems of a statistical group-theory. IV. (In English)
Source:  Acta Math. Acad. Sci. Hung. 19, 413-435 (1968).
Review:  Sei P ein Element der symmetrischen Gruppe Sn und O(P) dessen Ordnung. Nach E. Landau [Handbuch von der Lehre der Verteilung der Primzahlen I (Leipzig und Berlin: B. G. Teubner 1909; Fortschr. d. Math. 40, 432)] ist

limn ––> oo (n log n)- ½ · maxP in Sn (log O(P)) = 1.

In den Teilen I und III der Arbeit [Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete 4, 175-186 (1965; Zbl 137.25602); Acta Math. Acad. Sci. Hungar. 18, 309-320 (1967; Zbl 235.20003)] zeigten die Verff., daß log O(P) für ``fast alle'' P in Sn von der Größenordnung (½) log 2n ist und eine Gaußsche Verteilung besitzt. In der vorliegenden Arbeit zeigen die Verff., daß die Anzahl W(n) der verschiedenen Werte für O(P) (P in Sn) gleich

\exp \left{{2 \pi \over \sqrt 6} · \sqrt{{n \over log n}} · (1+0 ({log log n \over \sqrt {log n}} ))\right}

ist und daß bis auf o(W(n)) Ausnahmen die verschiedenen O(P)-Werte die Gestalt

\exp {(1+o(1)) · {\sqrt 6 · log 2 \over \pi} · \sqrt{n log n} }

haben. Weitere Ergebnisse beschäftigen sich mit der Anzahl der mit einem festen P in Sn vertauschbaren Elemente aus Sn. Schließlich wird gezeigt, daß ``fast alle'' abelschen Gruppen der Ordnung \leq n in die symmetrischen Gruppen Sl eingebettet werden können, wobei l = [n/\psi(n)] ist und \psi eine monoton gegen oo strebende Funktion bezeichnet, die log \psi(x) = o(log x) erfüllt.
Reviewer:  W.Schwarz
Classif.:  * 20B40 Computational methods (permutation groups)
                   00A07 Problem books
Citations:  Zbl 137.256; Zbl 189.313; Zbl 235.20003; Zbl 223.10005; Zbl 235.10008

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