Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 202.33002
Autor: Erdös, Paul
Title: On the integers relatively prime to n and on a number-theoretic function considered by Jacobsthal (In English)
Source: Math. Scand. 10, 163-170 (1962).
Review: Die zahlentheoretische Funktion g(n) sei dadurch definiert, daß für jedes a mindestens eine der Zahlen a,a+1, ... a+g(n)-1 relativ prim zu n ist. Ferner sei C(r) definiert durch max g(n) = C(r)+1, wobei n über alle natürlichen Zahlen mit r verschiedenen Primfaktoren läuft. In der Arbeit werden Ungleichungen über g(n) bewiesen. Die Resultate seien zitiert.
Satz 1. Es gilt für jedes n g(n) > (n \nu(n)/\phi(n)) (1-(C log log\nu(n))/(log\nu(n)) wobei c eine Konstante ist und \nu (n) die Anzahl der verschiedenen Primfaktoren einer Menge der asymptotischen Dichte Null) gilt
g(n) = (n/\phi(n))\nu(n)+0(log log log n). Satz 3. Sind \epsilon > 0 und \eta > 0 gegeben, so gibt es eine Zahl A0 = A0(\epsilon,\eta) derart, daß für A > A0 mit Ausnahme von höchstens \eta n Zahlen
(1-\epsilon)A < \phin(x,x+An/\phi(n)) < (1+\epsilon)A gilt; dabei bezeichnet \phin(x,x+An/\phi(n)) die Anzahl der natürlichen Zahlen im Intervall x,x+An/\phi(n), die zu n teilerfremd sind. Die sehr komplizierten Beweise beruhen hauptsächlich auf Siebmethoden.
Reviewer: P.Szüsz
Classif.: * 11A25 Arithmetic functions, etc.
11N36 Appl. of sieve methods
© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag