Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 199.02302
Autor: Erdös, Pál; Hajnal, András
Title: Some remarks on set theory. IX: Combinatorial problems in measure theory and set theory (In English)
Source: Mich. Math. J. 11, 1O7-127 (1964).
Review: Im Folgenden seien stets m und n Kardinalzahlen, k eine natürliche Zahl, u eine reelle Zahl des Intervalls [0,1]. Die Menge aller k-elementigen Teilmengen einer Menge S werde mit [S]k bezeichnet. Dann bedeute (m,k,u) ––> n folgendes: Ist |S| = m und F eine Funktion, die jeder Menge X aus [S]k eine meßbare Teilmenge F(X) \subset [0,1] vom Maß \geq u zugeordnet, dann hat S eine Teilmenge S' mit [S'] = n, so daß \bigcap {F(X) | X in [S']k} \ne Ø ist. Entsprechend definiert man (m,k > u) = n, indem man oben nur \geq u durch > u ersetzt. Diese Partitionsbeziehungen werden hier für k = 2 untersucht. Typische Resultate sind:
Theorem 1: r sei eine natürliche Zahl \geq 2. Dann gilt (\aleph0,2,u) ––> r+1 genau dann, wenn u > 1-1/r ist. Theorem 10: Ist u > 0 und m > \aleph0, dann gilt (m,2,u) ––> \aleph0. Theorem 11 (mit KH): (\aleph2,2, > 0) ––> \aleph0. Theorem 12 (mit KH): Wenn m = \aleph\alpha+1 und cf(\alpha) > 1 ist, dann gilt (m,2, > 0) ––> \aleph\alpha. In der zweiten Hälfte der Arbeit werden auch einige abstraktere Ergebnisse gebracht, unter anderem ein sehr kurzer Beweis des Satzes von W.T.Tutte [Am. Math. Mon. 61, 352-353 (1954; Zbl 311.05110)], daß es zu jeder natürlichen Zahl n einen endlichen Graphen der Färbungszahl n gibt, der jedoch kein Dreieck enthält. Ferner: Ist n unendliche Kardinalzahl, k natürliche Zahl, dann gibt es einen Graphen der Färbungszahl \geq n, der keinen Kreis der Länge 2i+1 hat für 1 \leq i \leq k.
Reviewer: E.Harzheim
Classif.: * 05D10 Ramsey theory
05C15 Chromatic theory of graphs and maps
04A20 Combinatorial set theory
Index Words: set theory
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