Zentralblatt MATH

Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No:  155.08802
Autor:  Erdös, Pál; Sarközi, A.; Szemeredi, E.
Title:  On the solvability of certain equations in sequences of positive upper logarithmic density (In English)
Source:  J. Lond. Math. Soc. 43, 71-78 (1968).
Review:  Die Folge ganzer Zahlen a1 < a2 < ... sei mit A bezeichnet. Wir nehmen an, daß A positive obere logarithmische Dichte hat, also daß \TagsOnLeft

limsupx ––> oo {1 \over log x} sumai < x {1 \over ai} > 0     (1)

ist. Die Autoren beweisen folgenden Satz: A befriedige (1). Dann enthält A eine unendliche Teilfolge aij, 1 \leq j < oo, so daß der größte gemeinsame Teiler und das kleinste gemeinsame Vielfache einer beliebigen Teilfolge der aij in A vorkommt und die kleinsten gemeinsamen Vielfachen zweier verschiedener Teilfolgen immer verschieden sind. Der Beweis ist elementar, aber recht kompliziert. Der Satz verschärft verschiedene frühere Ergebnisse. Das wichtigste Lemma ist vielleicht von selbständigem Interesse: Es sei p(q) der kleinste Primfaktor von q. A befriedige (1). Dann gibt es zwei Zahlen au in A, av in A, au|av und eine Folge q1 < q2 < ..., die positive obere logarithmische Dichte hat und welche die folgenden Bedingungen befriedigt:

p(qr) > av, auqr in A, av qr in A, r = 1,2,...

[Siehe H.Davenport und P.Erdös, Acta Arith. 2, 147-151 (1936; Zbl 015.10001) und die Verff., J. Math. Anal. Appl. 15, 60-64 (1966; Zbl 151.03502).]
Classif.:  * 11B83 Special sequences of integers and polynomials
                   11B05 Topology etc. of sets of numbers
Index Words:  number theory

© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag

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