Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 135.10003
Autor: Erdös, Pál; Gordon, B.; Rubel, L.A.; Straus, E.G.
Title: Tauberian theorems for sum sets (In English)
Source: Acta Arith. 9, 177-189 (1964).
Review: Sei 0 < k0 \leq k1 \leq k2 \leq ... eine Folge von reellen Zahlen, S(x) die Anzahl der Summen, die sich aus den ki bilden lassen und \leq x sind (jedes ki) soll in einer derartigen Summe höchstens einmal vorkommen). Verff. untersuchen die Frage, "wie ähnlich" die Folge {ki} der Folge der Potenzen von 2 sein muß, wenn S(x) nahe an x ist. Seien A = liminf {S(x)/x}, \alpha = liminf (2n/kn), B und \beta die entsprechenden oberen Limits. Dann gilt: \alpha = A und B \geq \beta(2\alpha/\beta-\alpha2/\beta2), und dies ist in gewissem Sinn bestmöglich. Ist weiter |S(x)-x| beschränkt, so auch kn-2n, und es gilt sogar sumn |kn -2n| < oo, so daß für genügend großes n genau kn = 2n gilt, wenn die kn ganz sind. Ferner werden auch für nicht beschränktes | S(x)-x| Schranken für sumn \leq N |kn-2n| angegeben, und es wird gezeigt, daß unmöglich S(x) ~ x\alpha f(x), 0 < \alpha < 1, sein kann, wenn f(x) in dem Sinn langsam oszillierend ist, daß für jedes a > 0 limx ––> oo {f(ax) \over f(x)} = 1 gilt und x\alpha f(x) eigentlich monoton zunehmend ist.
Reviewer: K.Prachar
Classif.: * 11B05 Topology etc. of sets of numbers
11M45 Tauberian theorems
Index Words: number theory
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