Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 127.02202
Autor: Erdös, Pál
Title: Remarks on number theory. IV: Extremal problems in number theory. I (In Hungarian)
Source: Mat. Lapok 13, 228-254 (1962).
Review: [Teil III s. Zbl 123.25503]
Die Arbeit enthält eine reiche Übersicht über die Extremalprobleme der Zahlentheorie. Jedem Problem ist im Text der Arbeit eine Literaturübersicht beigefügt, so wie auch die besten Ergebnisse, die bei der Lösung des Problems erreicht worden sind, sogar oft die Hypothesen des Verf. und seine Vorschläge, in welcher Richtung die Untersuchungen dieses Problems fortschreiten sollten. In der Arbeit sind nur solche Beweise aufgeführt, die noch nicht veröffentlicht waren.
Einige typische Probleme: 1. Es sei a1,a2,...,ak eine Folge natürlicher Zahlen mit folgenden Eigenschaften:
a) a1 < a2 < ··· < ak \leq n,
b) kein ai ist durch aj (j \ne i) teilbar.
Es soll maxsumi = 1k {1 \over ai} [für alle Folgen mit den Eigenschaften a), b)] nach oben abgeschätzt werden. Das bisher beste Ergebnis des Verf.: maxsumi = 1k {1 \over ai} = (1+o(1)){log n \over (2 \pi log log n) ½}. 2. Es sei a1,a2,...,ay eine Folge von natürlichen Zahlen mit folgenden Eigenschaften: a) a1 < a2 < ··· < ay \leq n, b) es existiert keine solche Teilfolge ai1 < ai2 < ··· < aik (k is fixiert) dieser Folge, daß je zwei Glieder dieser Teilfolge denselben größten gemeinsamen Teiler hätten. Es sei Ak(n) = max y gesetzt, dann gibt die bisher beste Abschätzung Ak(n) < n/\exp[(log n) ½-\epsilon]. 3. Wie groß ist die größte Anzahl f(n) von natürlichen Zahlen a1 < a2 < ··· < ay \leq n mit der Eigenschaft, daß die Summen ai+aj (i,j = 1,2,...,y) gegenseitig verschieden sind? Die Hypothese des Verf.: f(n) = n ½+O(1).
Reviewer: T.Salát
Classif.: * 11B83 Special sequences of integers and polynomials
11B75 Combinatorial number theory
00A07 Problem books
Index Words: number theory
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