Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 123.32001
Autor: Erdös, Pál
Title: On some properties of Hamel bases (In English)
Source: Colloq. Math. 10, 267-269 (1963).
Review: Es existiert [vgl. W. Sierpinski, Fundam. Math. 1, 105-111 (1920)] eine Hamelsche Basis H der reellen Zahlen \alpha, \beta,..., die nicht-meßbar ist, und es existiert auch eine solche, die das Maß Null hat. Verf. geht in dieser Richtung weiter und beweist die folgenden Sätze: H^* bzw. H^+ bezeichne die Menge aller reellen Zahlen des Typus sum\alpha n\alpha a\alpha bzw. sum\alpha r^+\alpha (a\alpha in H; n\alpha ganz; r^+\alpha nichtnegativ rational: sum\alpha endlich).
(I) H^* ist immer nicht-meßbar, sogar ist das innere Maß von H^* gleich 0 und für jedes Intervall (a,b) ist das äußeren Maß von H^*\cap (a,b) gleich b-a.
(II) Vorausgesetzt, daß die Mächtigkeit des Kontinuums c = \aleph1 ist, existiert eine Hamelsche Basis H, für die H^+ das Maß Null hat.
In dieser Arbeit wird auch ein Problem von M.Kuczma (vgl. vorstehendes Referat, Zbl 123.31904) in negativem Sinne beantwortet: Es sei f(X+Y) = f(x)+f(Y); setzt man f(Z) < c für alle Z in P voraus, wobei P eine Menge ist, so daß alle reellen Zahlen in der Form Z1-Z2, Z1,Z2 in P darstellbar sind, existiert trotzdem f(X) mit der Eigenschaft f(X) \ne cX (vgl. S. Kurepa, Zbl 072.05301).
Reviewer: E.Vincze
Classif.: * 28A99 Classical measure theory
Index Words: functional analysis
Citations: Zbl 072.053
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