Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 097.03502
Autor: Erdös, Pál
Title: Some results on diophantine approximation. (In English)
Source: Acta Arith. 5, 359-369 (1959).
Review: Es sei \phi(n,\epsilon,C) die Menge der \alpha (0 < \alpha < 1), für welche |\alpha-p/q| < \epsilon/q2, n < q < Cn, (p,q) = 1 nicht lösbar ist, und \mu ihr Maß. In Richtung auf die Vermutung der Existenz von limn ––> oo \mu (\phi) zeigt nun der Verf. (vgl. P.Erdös. P.Szüsz und P.Turán, Zbl 087.04305): Es gibt zu jedem \epsilon,\eta ein C = C(\epsilon,\eta), so daß \mu(\phi(n,\epsilon,C)) < \eta. Der (lange) Beweis zeigt mehr: Es sei fq(\alpha) = 1, wenn für ein p die Ungleichung |\alpha- p/q | < {\epsilon \over q2} lösbar ist, 0 sonst,
Ec = sumn < q < Cn int01 fq (\alpha) d\alpha ~ {12 \epsilon \over \pi2} log C. Dann ist für jedes \eta und großes C int01 (sumn < q < Cn fq (\alpha)-EC )2 d \alpha < \eta EC2. Weiter wird gezeigt [im Detail für l(n) = n]: Ist l(n) > 0 nicht abnehmend, sumn = 1oo {1 \over l(n)} = oo, N(l,\alpha,n) die Anzahl der Lösungen von m\alpha-[m\alpha] < {1 \over l(m)}, 1 \leq m \leq n, dann ist für alle \alpha limn ––> oo N(l,\alpha,n)(summ = 1n {1 \over l(m)} )-1 = 1.
Reviewer: E.Hlawka
Classif.: * 11J25 Diophantine inequalities
Index Words: number theory
© European Mathematical Society & FIZ Karlsruhe & Springer-Verlag