Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 089.04903
Autor: Erdös, Paul; Rényi, Alfréd
Title: On singular radii of power series. (In English. RU summary)
Source: Publ. Math. Inst. Hung. Acad. Sci. 3, 159-169 (1959).
Review: Ist f(z) = sum an zn in |z| < 1 regulär und unbeschränkt, so heißt nach Meyer-König und dem Ref. (Zbl 071.28603) R\phi = {r ei\phi; 0 \leq r < 1} singulärer Radius, wenn f(z) in jedem Sektor |arg z - \phi| < \epsilon, |z| < 1 unbeschränkt ist; andernfalls heißt R\phi regulärer Radius. Die Frage ist, bei welchen Lückenreihen (1) f(z) = sum ckznk reguläre Radien auftreten können. Alle Radien sind singulär, wenn nk+1/nk \geq q > 1 ist. Dies gilt nicht bei Fabry-Lücken nk/k ––> oo, wie aus dem Beispiel der Verff. f1(z) = sumk = 1oo {1 \over k2} sumj = 0k2-1 zNk+j, Nk+1 \geq Nk+k2 sofort folgt, denn hier ist R0 einziger singulärer Radius. Früher (Zbl 078.26105) hatte Erdös gezeigt, daß sogar bei nk+1-nk ––> oo R0 einziger singulärer Radius sein kann. Dies ist enthalten in folgendem allgemeinen Satz. Es seien mk, wk natürliche Zahlen mit mk \nearrow oo, wk \nearrow oo und es gelte liminf(k-j) ––> oo (mk-mj)1/(k-j) = 1. Dann gibt es eine Folge natürlicher Zahlen nk mit 0 \leq nk-mk \leq wk und eine Funktion (1), regulär und unbeschränkt in |z| < 1, die R0 als einzigen singulären Radius hat. Bei beschränkten wk wird der Satz falsch. Der mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden arbeitende Beweis ist nicht konstruktiv.
Reviewer: D.Gaier
Classif.: * 30B10 Power series (one complex variable)
Index Words: complex functions
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