Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 088.25804
Autor: Erdös, Pál; Rényi, Alfréd
Title: Some further statistical properties of the digits in Cantor's series. (In English)
Source: Acta Math. Acad. Sci. Hung. 10, 21-29 (1959).
Review: In Fortsetzung früherer Arbeiten von A. Rényi (Zbl 067.10401; Zbl 079.08901) untersuchen die Verff. das asymptotische Verhalten von Ziffern \epsilonn(x) in der Cantorschen Entwicklung x = sumn = 1oo {\epsilonn(x) \over q1q2··· qn} (0 \leq x \leq 1; qn \geq 2 ganz; 0 \leq \epsilonn(x) \leq qn-1). Es wird
fn(k,x) = sum \Sb{\epsilonj (x) = k}
{1 \leq j \leq n}\endSb 1, Qn = sumj = 1n {1 \over qj}, Mn(x) = maxk fn(k,x) gesetzt. Dann gelten folgende Sätze:
I. Ist limn Qn/ log n = oo, so hat man limn Mn (x)/Qn = 1 fast überall (d. h. für fast jedes x).
II. Ist 0 < c1 \leq qn/n \leq c2 (n = 1,2,...) und limn Qn/ log n = \alpha > 0, so hat man fast überall limn Mn (x)/Qn = y(\alpha), wo y(\alpha) log y(\alpha) = 1/\alpha.
III. Ist limn qn/n = oo und limn Qn = oo, so hat man fast überall limn Mn(x)/Qn = oo.
Satz I folgt im Falle qn \leq K leicht aus dem von den Verff. schon früher auf die Cantorschen Reihen mit Qn ––> oo verallgemeinerten Borelschen Sätze über die Gleichverteilung von Ziffern in Dezimalbrüchen. In vollem Umfang wird Satz I, sowie II und III mit wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden bewiesen, wobei die Ausrechnung oder Abschätzung der in Frage kommenden Wahrscheinlichkeiten die Hauptschwierigkeit bildet.
Reviewer: S.Hartman
Classif.: * 11K55 Metric theory of other number-theoretic algorithms and expansions
Keywords: Cantor series
Index Words: number theory
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