Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 088.25302
Autor: Erdös, Pál; Herzog, F.; Piranian, C.
Title: Metric properties of polynomials. (In English)
Source: J. Anal. Math. 6, 125-148 (1958).
Review: Les AA. considèrent un polynôme f(z) = prod\nu = 1n (z-z\nu), désignent par E = E(f) l'ensemble des z complexes tels que |f(z)| < 1, et étudient les relations entre des conditions de position pour les z\nu (en général une limitation commune de leur module, et dans certains cas l'hypothèse additionnelle que les z\nu sont réels), et certaines propriétés topologiques ou métriques de E. Par exemple, si les z\nu sont réels et tels que |z\nu| \leq r pour tout r, ils déterminent la borne supérieure exacte (en fonction de r) du diamètre de E \cap R (R axe réel); généralisant un résultant de G. MacLane, ils prouvent que lorsque les |z1| sont supposés \leq 1, la mesure de E peut être arbitrairement petite. Le nombre des composantes connexes de \bar E, pour |z\nu| \leq 1, est au plus n-1 et peut atteindre cette valeur. Si |z\nu| \leq r0 = \sin 1/8 \pi/(1+\sin 1/8 \pi), E est convexe. Enfin, si |z\nu| \leq 1, et si, pour un c > 0 donné, on considère les polynômes du type envisagé tels que |f(z)| \geq (1+c)n pour |z| = 1, il existe deux constantes c1 < 1, c2 > 0 ne dépendant que de c, et telles que, pour ces polynômes, l'ensemble des z tels que |z| \leq 1 et |f(z)| \leq c1n soit de mesure \geq c2. Les AA. indiquent en outre un grand nombre de problèmes non résolus liés aux question précédentes.
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The authors consider a polynomial f(z) = prod\nu = 1n (z-z\nu), denote by E = E(f) the set of complex z so that |f(z)| < 1, investigate the relations between the conditions for the position of the z\nu (in general a common limit for their modul, and in certain cases the additional hypothesis that the z\nu are reals), and certain topological or metric properties of E. For exemple, if the z\nu are reals et that |z\nu| \leq r for all r, they determine the exact upper bound (for variable r) of the diameter of E \cap R (R real axis); Generalizing a result of G. MacLane, they prove that the measure E can be arbitrarily small because the numbers |z1| are supposed to be \leq 1. The number of connected composits of \bar E, for |z\nu| \leq 1, is at most n-1 and can take this value. If |z\nu| \leq r0 = \sin 1/8 \pi/(1+\sin 1/8 \pi), E is convex. Finally, if |z\nu| \leq 1, and if for certain given c > 0, the authors consider the polynomials of this type so that |f(z)| \geq (1+c)n for |z| = 1, there exist two constants c1 < 1, c2 > 0 only dependent of c, and so that for these polynomials, the set of all z so that |z| \leq 1 and |f(z)| \leq c1n are of measure \geq c2. The authors further state a great nomber of unsolved problems related to the preceding questions.
Reviewer: J.Dieudonné
Classif.: * 30C10 Polynomials (one complex variable)
Index Words: linear algebra, polynomials, forms
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