Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 087.04502
Autor: Erdös, Paul; Piranian, George
Title: Sequences of linear fractional transformations. (In English)
Source: Mich. Math. J. 6, 205-209 (1959).
Review: Diese Arbeit ist die unmittelbare Fortsetzung einer Abhandlung von Piranian und Thron (Zbl 080.28202, im folgenden zitiert: [P.T.]). Im ersten Abschnitt wird gezeigt, daß eine Punktmenge auf einer Geraden dann und nur dann ein DB ist, wenn sie (in Hausdorffs Bezeichnung) ein G\delta \sigma ist, d.h. eine Summe von Durchschnitten von Folgen offener Mengen. Der zweite Abschnitt beantwortet die dritte und die zweite der in [P.T.] aufgezählten ungelösten Fragen. (Korrektur zum Referat von [P.T.]: Frage 2. lautet: Ist jede Teilmenge eines abzählbaren DB ein DB?)
Die Diskussion basiert auf der folgenden Definition: Sei E eine Menge in der Ebene; ein Punkt z gehört zur Menge gd(E) dann und nur dann, wenn für jedes \epsilon > 0 ein \delta > 0 existiert, derart daß es für alle t mit |t-z| < \delta in E einen Punkt w gibt, welcher die Ungleichung |w-t| < \epsilon |t-z| erfüllt. Ist zum Beispiel E = (z,|z| \leq 1), so ist gd(E) = (z,|z| < 1). Ferner sei E1 = E \cap gd(E) und für jede Ordnungszahl \alpha erster Art: E\alpha = E\alpha-1 \cap gd(E\alpha-1), für jede Ordnungszahl \alpha zweiter Art:
E\alpha = \bigcap\beta < \alpha E\beta. Es wird bewiesen, daß eine abzählbare Menge dann und nur dann ein DB ist, wenn es ein \alpha derart gibt, daß E\alpha die leere Menge ist. Wie nach den Ergebnissen von [P.T.] zu erwarten war, konnte die vollständige Charakterisierung der als DB in Frage kommenden Mengen nicht rein topologisch ausfallen. Die Frage 2. wird positiv entschieden.
Reviewer: H.Schwerdtfeger
Classif.: * 04A15 Descriptive set theory
Index Words: set theory
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