Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 083.29001
Autor: Erdös, Pál
Title: Problems and results on the theory of interpolation. I. (In English)
Source: Acta Math. Acad. Sci. Hung. 9, 381-388 (1958).
Review: Es sei A = {xk(n)} eine Dreiecksmatrix von Knotenpunkten, deren n-te Reihe -1 \leq x1(n) \leq x2(n) \leq x3(n)··· \leq xn(n) = +1 ist, und es sei Ln(f(x)) = sumk = 1n f(xk(n)) lkn(x) das Lagrangesche Interpolationspolynom der Funktion f auf [-1,+1], wobei lkn(x) die Grundpolynome sind. Setzt man \lambdan(x) = sumk = 1n |lkn(x)| und \lambdan = max-1 \leq x \leq +1 \lambdan(x), so sagt ein bekannter Satz von G. Faber aus, daß für alle A stets limn ––> oo\lambdan = +oo gilt. S. Bernstein [Izv. Akad. Nauk SSSR, Otd. Mat. Estest. Nauk, VII. Ser. No.8, 1025-1050 (1931; Zbl 004.00601)] zeigte, daß zu jeder Matrix A ein Punkt x0 in [-1,+1] existiert, so daß (^*) limsupn ––> oo \lambdan (x0) = +oo besteht. Der Verf. beweist sogar, daß für alle A(^*) für fast alle x in (-1,+1) gültig ist, und allgemeiner als Hauptergebnis dieser Arbeit: Es seien A eine beliebige Matrix, \epsilon > 0 und M vorgegebene Zahlen n > n0 = n0 (\epsilon, M). Dann ist das Maß der Punkte x(-oo < x <+oo), für die \lambdan(x) \leq M gilt, kleiner als \epsilon. Das Verhalten der Lebesgueschen Funktionen \lambdan(x) ist für die Konvergenz bzw. Divergenz der Folge Ln(f(x)) gegen f(x) von Wichtigkeit. Hierzu gibt der Verf. eine Zusammenstellung der Literatur, wie z.B. die Sätze von H. Hahn, G.Grünwald und J. Marcinkiewicz. Dieser Arbeit soll eine weitere folgen, in welcher der Verf. die Vermutung beweisen möchte, daß für jede Matrix A eine stetige Funktion f existiert, für die limsupn ––> oo Ln (f(x)) = +oo für fast alle x gültig ist.
Reviewer: P.L.Butzer
Classif.: * 41A05 Interpolation
00A07 Problem books
Index Words: approximation and series expansion of real functions
Citations: Zbl.004.00601
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