Zentralblatt MATH

Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No:  074.04602
Autor:  Erdös, Pál
Title:  On a high-indices theorem in Borel summability. (In English. RU summary)
Source:  Acta Math. Acad. Sci. Hung. 7, 265-281 (1956).
Review:  Die Reihe (1) sum0oo ak mit den Teilsummen sk sei eine Lückenreihe, d. h. es sei ak = 0 für k\ne nj (j = 0,1,...), wo {nj } eine Folge ganzer Zahlen und 0 \leq n0 < n1 < ··· ist. Satz: Ist die Lückenreihe (1) Borel-summierbar (d.h.: b(x) = e-x sum0oo {sk xk \over k!} konvergiert für x > 0 und limx ––> oo b(x) existiert), gilt (2) nj+1-nj > cnj ½ (j = 0,1,...) für eine geeignete Konstante c > 0 und ist

sumj = 0oo (nj+1-nj)-1 < oo,    (3)

so ist (1) konvergent. Das Besondere hier ist, daß die Tauber-Bedingung nur in Voraussetzungen über die Lückenlängen besteht und daß keine Bedingung über die Größenordnung der ak auftritt (abgesehen von der für die Existenz von b(x) für x > 0 erforderlichen Einschränkung). Der Beweis erfordert schwierige Abschätzungen. Es wird benützt, daß der Satz richtig ist, wenn (3) durch die Bedingung ersetzt wird, daß die Potenzreihe sum0oo ak zk einen nicht-verschwindenden Konvergenzradius besitzt. Wegen Lückenumkehrsätzen für das Borel- und das verwandte Euler-Knopp-Verfahren und wegen weiterer Literatur vgl. Verf. (Zbl 047.30102), W.Meyer-König und K.Zeller [Math. Z. 66, 203-224 (1956; Zbl 075.25801)].
Reviewer:  W.Meyer-König
Classif.:  * 40G10 Power series methods
Index Words:  Series

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