Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 073.06201
Autor: Dvoretzky, A.; Erdös, Pál
Title: On power series diverging everywhere on the circle of convergence. (In English)
Source: Mich. Math. J. 3, 31-35 (1956).
Review: Es handelt sich um den Ideenkreis des bekannten Luzinschen Beispiels einer überall auf |z| = 1 divergenten Potenzreihe (1) sum0oo an zn, die der Bedingung (2) an ––> 0 für n ––> oo genügt. Satz 1: Sei {bn} (n = 0,1,...) eine Folge komplexer Zahlen mit |bn| \geq |bn+1| und sum0oo |bn|2 = oo; dann gibt es eine überall auf |z| = 1 divergente Reihe (1), so daß (3) für jedes n = 0,1,... entweder an = bn oder an = 0 ist. Konstruktiver Beweis.
Anwendung: F. Herzog (Zbl 058.06004) gab ein Beispiel einer Luzinschen Potenzreihe, bei der an \geq 0 und statt (2) sogar an = O(n-1/3) gilt: Satz 1 ermöglicht derartige Beispiele, bei denen sogar z. B. 0 \leq an < (n log n)- ½ (n = 3,4,...) ist. Verschiedene Zusätze; z. B. ist Ausdehnung von Satz 1 auf gewisse Klassen von Dirichlet-Reihen und Laplace-Integralen möglich. Ähnlich wie Satz 1, sogar einfacher, wird bewiesen Satz 2: Sei {bn} eine Folge komplexer Zahlen mit sum0oo |bn| = oo; dann gibt es eine Potenzreihe (1), welche (3) erfüllt und auf einer Restmenge (Komplement einer Menge erster Kategorie) von |z| = 1 divergiert.
Reviewer: W.Meyer-König
Classif.: * 30B10 Power series (one complex variable)
Index Words: Theory of Functions
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