Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 056.28202
Autor: Bagemihl, F.; Erdös, Pál
Title: Rearrangments of C1-summable series. (In English)
Source: Acta Math. 92, 35-53 (1954).
Review: Vorgegeben sei eine Reihe (1) sum an mit reellen Gliedern. Ist sum an = s und sum |an| < oo, so gilt für eine beliebige Umordnung (2) sum an' von (1) stets sum a'n = s; ist dagegen sum an = s und sum |an| = oo, so gibt es zu jeder reellen Zahl s' eine Umordnung (2) und (1) mit der Summe s' (Riemannscher Umordnungssatz). Man kann sich nun fragen: Es sei V ein permanentes Summierungsverfahren und V-sum an = s; welches ist die Menge R aller Zahlen s', für die es eine Umordnung (2) von (1) mit V-sum an' = s' gibt? Die Verff. stellen sich diese seither unberücksichtigt gebliebene Frage für den Fall V = C1 und lösen sie mit beachtlichem Aufwand an kunstvollen Beweisen vollständig durch die Aussage: R besteht im Falle V = C1 entweder (i) aus einer einzigen Zahl, oder (ii) aus allen Zahlen der Form \alpha+n\beta (n = 0,± 1,± 2,...) fürgewisse Zahlen \beta \ne 0 und \alpha oder (iii) aus sämtlichen reellen Zahlen; alle drei Möglichkeiten kommen vor. Darüber hinaus werden Kriterien angegeben, die entscheiden lassen, welcher der genannten Fälle bei Vorgabe einer C1-summierbaren Reihe (1) eintritt. Es wird nämlich gezeigt, daß mit Ausnahme von zwei Typen C1-summierbarer Reihen (1) die Menge R sicher aus allen Zahlen der reellen Achse besteht. Typ A: Die Reihe (1) konvergiert absolut: R besteht aus einem Punkt. Typ B: Der Punkt 0 ist isolierter Häufungspunkt der Folge {an}, es liege etwa in <-\epsilon,+\epsilon> kein Häufungspunkt \ne 0 von {an}; sämtliche an in (-\epsilon,+\epsilon) seien in eine Teilfolge {ank} zusammengefaßt, und es sei sumk |ank| < oo, schließlich sei {amk} die Folge der nicht in {ank} enthaltenen Terme von (1) und limsupk {mk+1 \over mk} > 1. Für eine C1-summierbare Reihe (1) von diesem Typ B kann R von der Art (i), (ii) oder (iii) sein; alle drei Fälle sind möglich.
Der Ref. wurde durch Herrn Zeller auf eine Arbeit von S.Mazur [Arch. Towarz. Nauk. Lwow 4, 411-424 (1929)] aufmerksam gemacht, die sich teilweise mit der hier referierten überschneidet. Mazur zeigt z.B.: Hat (1) beschränkte Glieder und V-sum an = s, so ist V-sum an' = s für jede Umordnung (2) von (1), oder R besteht aus allen Zahlen der reellen Achse; V kann dabei das Verfahren Ck (k = 1,2,...) oder das Abel-Verfahren sein.
Reviewer: D.Gaier
Classif.: * 40A05 Convergence of series and sequences
40G10 Power series methods
Index Words: Series, summability
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