Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 050.04302
Autor: Davenport, H.; Erdös, Pál
Title: The distribution of quadratic and higher residues. (In English)
Source: Publ. Math., Debrecen 2, 252-265 (1953).
Review: Die Verff. beweisen:
1. Der kleinste positive quadratische Nichtrest d zur Primzahl p ist O((p ½ log p)\beta), wo \beta = e- ½.
2. Der kleinste positive k-te Potenz-Nichtrest dk ist [falls p\equiv 1 (mod k)] O(p\alphak+\epsilon), wo \epsilon beliebig > 0 und \alphak = (2 uk)-1 ist, wo uk die eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung \rho(u) = k-1 ist und \rho(u) die Funktion, die bestimmt ist durch \rho(u) = 1- log u für 1 \leq u \leq 2; u \rho'(u) = -\rho(u-1) für u \geq 2. Es ist \alphak < (log log k)/2 log k+c/ log k, wo c eine Konstante ist.
3. Jede Klasse von kubischen Nichtresten enthält eine positive Zahl p\gamma+\epsilon, falls p genügend groß ist. Hier ist \epsilon beliebig > 0 und \gamma = (2u)-1 = 0,383..., wo u die Lösung von log u+int12u-1 {log t \over 1+t} dt = 1/3 ist.
4. Es gibt eine nur von k abhängige positive Zahl \eta derart, daß für jede genügend große Primzahl p \equiv 1 (mod k) jede der k-1 Klassen von k-ten Potenz-Nichtresten eine positive Zahl < p ½-\eta enthält.
5. Es sei h eine Funktion von p, für die h ––> oo, log h/ log p ––> 0, falls p ––> oo. Für Primzahlen p sei Sh (x) = sumn = x+1x+h ( n/p ), und Mp(\lambda) sei die Anzahl der positiven ganzen Zahlen x, für die 0 \leq x < p, und Sh(x) \leq \lambda h ½ ist. Für jedes feste \lambda ist dann limp ––> oo p-1 Mp (\lambda) = (2\pi)- ½ int-oo\lambda e-t2/2 dt.
Reviewer: H.D.Kloosterman
Classif.: * 11N69 Distribution of integers in special residue classes
11A15 Power residues, etc.
Index Words: number theory
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