Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 046.04902
Autor: Davenport, H.; Erdös, Pál
Title: Note on normal decimals. (In English)
Source: Can. J. Math. 4, 58-63 (1952).
Review: Die Verff. zeigen folgenden Satz: Es sei f(x) ein Polynom x vom Grad g, dessen Werte für x = 1,2,... natürliche Zahlen sind. Dann ist die Dezimalzahl 0, f(1) f(2) ... normal. Ist N(n,t) die Anzahl, mit der eine feste Kombination von k Ziffern under den Ziffern von der (n+1)-ten bis zur t-ten Ziffer einer Dezimalzahl vorkommt, N(t) = N(0,t), so heißt eine Zahl normal, wenn limt ––> oo {N(t) \over t} = {1 \over 10k}. Der Beweis verläuft so: Es ist für t > u N(u,t) \leq N(t)-N(u) \leq N(u,t)+(k-1). Ist für festes natürliches n xn die größte ganze Zahl x, für welche f(x) weniger als n Ziffern besitzt [es ist xn ~ \alpha(101/q)n für n ––> oo, \alpha Konstante], nimmt die letzte Ziffer in f(xn) den tn-ten Platz in 0, f(1) f(2)... ein [tn+1-tn = n(xn+1-xn)], so genügt es zu zeigen N(tn,t) = 10-k (t-tn)+o(tn) für n ––> oo (tn < t \leq tn+1). Hier genügt es den Fall t = tn+nX (X ganz) zu betrachten. Ist nun \theta(z) definiert als 1 wenn z (modulo 1) einer Zahl kongruent ist, welche in einem Intervall der Länge 10-k liegt und sonst 0 ist, so ist N(tn,t) = sumx = xn+1xn+X summ = kn \theta (10-m f(x))+O(xn+1-xn), und es ist zu zeigen, daß die Doppelsumme = 10-k nX+o(n(xn+1-xn)) für 0 < X \leq xn+1-xn ist. Alles ist gezeigt, wenn für jedes feste \delta > 0, \delta n < m < (1-\delta)n,
sumx = xn+1xn+X\theta (10-m f(x)) = 10-k X+o(xn+1-xn) gleichmäßig in m ist. Diese Summe kann aber nach geläufigen Methoden [vgl. J.F.Koksma, Diophantische Approximationen, Berlin, SS. 91-92 (1936; Zbl 012.39602)] behandelt werden und läuft auf die Abschätzung der Weylschen Summe
Sn,m,\nu = sumx = xn+1xn+X \exp (2\pi 10-m \nu f(\nu)) hinaus, welche durch die Weylsche Ungleichung geleistet wird. Die Verff. zeigen noch schärfer: Für jedes \epsilon und k (\epsilon > 0, k natürliche Zahl) sind fast alle Zahlen f(1), f(2),..., (\epsilon,k) normal (zur Definition vgl. A.S.Besicovitch, Zbl 009.20002).
Reviewer: E.Hlawka
Classif.: * 11K16 Normal numbers, etc.
Index Words: number theory
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