Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 044.14001
Autor: Dvoretzky, A.; Erdös, Pál
Title: Some problems on random walk in space. (In English)
Source: Proc. Berkeley Sympos. math. Statist. Probability, California July 31 - August 12, 1951, 353-367 (1951).
Review: Die Verff. diskutieren die Irrfahrt im d-dimensionalen Raum. Als wesentliche Verschärfung eines Resultates von Pólya beweisen sie die folgenden Sätze betreffend die Anzahl Ld(n) der verschiedenen Punkte des Koordinatengitters und ihre Erwartungswerte, die in n Schritten passiert werden. E2(n) = {\pi n \over log n}+O({n log log n \over log2n}), E3(n) = n\gamma3+O(\sqrt n)
E4(n) = n\gamma4+O (log n), Ed(n) = n\gammad+\betad+O(n2-d/2) für d = 5,6 \gamma und \beta sind Konstanten.
V2(n) = O({n2 log log n \over log3n}), V3(n) = O (n3/2),
V4(n) = O(n log n) Vd(n) = O(n) für d = 5,6,... Ld(n) genügt dem starken Gesetz der großen Zahl, der Beweis dafür ist für d = 2 erheblich schwieriger als für d \geq 3.
Schließlich charakterisieren die Verff. alle monotonen Funktionen g(n), welche mit der Wahrscheinlichkeit 1 der Gleichung g(n) \sqrt n = o[||Sd (n)||] genügen. ||Sd(n)|| bedeutet den Abstand eines Punktes des d-dimensionalen Raumes vom Nullpunkt. Beispielsweise genügt im dreidimensionalen Raum g(n) = (log n)-1-\epsilon der vorigen Bedingung, wenn \epsilon > 0, aber nicht für \epsilon = 0.
Bei den Beweisen werden frühere Ergebnisse der Verff. sowie von Pólya benutzt.
Reviewer: Walter Saxer
Classif.: * 60J15 Random walk
Index Words: probability theory
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