Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 043.08002
Autor: Erdös, Pál; Herzog, F.; Piranian, G.
Title: Schlicht Taylor series whose convergence on the unit circle is uniform but not absolute. (In English)
Source: Pac. J. Math. 1, 75-82 (1951).
Review: Das Funktionselement (1) f(x) = sum0oo an zn besitze den Konvergenzradius 1. Nach G. H. Hardy kann es vorkommen, daß (1) auf |z| = 1 gleichmäßig, aber nicht absolut konvergiert (vgl. E. Landau, Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie, Berlin 1929, S. 68). Verff. geben zwei neue Beispiele von Potenzreihen (1) dieser Art, die zudem die Eigenschaft haben, daß f(z) schlicht in |z| \leq 1 ist. Beim ersten Beispiel besitzt f(z) nur eine einzige singuläre Stelle auf |z| = 1, beim zweiten Beispiel ist der andere Extremfall verwirklicht, daß nämlich f(z) über den Einheitskreis hinaus nicht fortsetzbar ist. Im zweiten Beispiel handelt es sich um eine Lückenreihe sum\kappa = 0oo a\kappa zm\kappa. Soll eine solche die Eigenschaften der Schlichtheit in |z| \leq 1 und der gleichmäßigen, aber nicht absoluten Konvergenz auf |z| = 1 besitzen, so muß sum m\kappa-1 divergieren, darf also m\kappa nicht zu schnell wachsen. Aber, dies zeigt das Beispiel, m\kappa kann immerhin so schnell wachsen, daß die Fabrysche Lückenbedingung m\kappa+1-m\kappa ––> oo für \kappa ––> oo erfüllt ist. Die Konstruktion der Beispiele beruht auf den Abbildungseigenschaften der Funktion z+k\omega [1-(1-z/\omega)1/n], die die Fläche des Einheitskreises abbildet auf einen Bereich, der, roh gesprochen, wieder aus der Fläche des Einheitskreises mit einem an der Stelle \omega ansetzenden (für großes n schmalen) Zahn der Länge k besteht [k reell, |\omega| = 1, n > 0 ganz, (1-z/\omega)1/n > 0 für z = \omega/2].
Reviewer: Werner Meyer-König
Classif.: * 30C45 Special classes of univalent and multivalent functions
41A58 Series expansions
Index Words: complex functions
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