Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 043.04902
Autor: Davenport, H.; Erdös, Pál
Title: On sequences of positive integers. (In English)
Source: J. Indian Math. Soc., n. Ser. 15, 19-24 (1951).
Review: Sind a1,...,an verschiedene natürliche Zahlen und ist {bi} die Folge der natürlichen Zahlen, welche durch irgendein ai teilbar ist, so existiert die natürliche Dichte A(a1,...,am) der Folge {bi}. Ist nun {ai} eine unendliche Folge (in wachsender Ordnung) von natürlichen Zahlen, so existiert limm ––> oo A(a1,...,am) = A, ist aber nicht immer, wie ein Beispiel von A.S.Besicovitch (Zbl 009.39504) zeigt, die Dichte der zugehörigen Folge {bi} der Zahlen, welche durch eins der aj teilbar ist, außer wenn sum aj-1 konvergiert.
Die Verff. zeigten (Zbl 015.10001), daß aber A stets die untere Dichte d der {bi} ist (D sei die obere Dichte) und daß die logarithmische Dichte der {bi}, d. h. daß limx ––> oo {\beta(x) \over log x}, wo \beta(x) = sumbi \leq x {1 \over bi}, existiert und gleich A ist. (Mit \delta und \Delta bezeichnen wir die untere und obere logarithmische Dichte.) Der damalige Beweis verwendete aber tiefe analytische Hilfsmittel. Die Verff. geben nun einen elementaren Beweis. Da A \leq d \leq \delta \leq \Delta \leq D ist, genügt es zu zeigen \Delta \leq A, also daß limsupx ––> oo {\beta(x) \over log x} \leq A ist.
Beim Beweis verwenden die Verff. den Begriff der multiplikativen Dichte: Seien p1,...,pk die ersten k Primzahlen, {n'} die Menge aller Zahlen, welche nur durch p1,...,pk teilbar sind, ebenso seien die {b'} aus der Folge {bi} definiert (dabei kann die Folge noch ganz beliebig sein), dann ist Bk = sum {b'}-1/sum {n'}-1 vorhanden. Existiert nun limk ––> oo Bk so heißt sie die multiplikative Dichte. Es ist leicht einzusehen, daß sie bei unserer Folge existiert, und mit Hilfe dieser Tatsache wird nun der Beweis geführt. Die Verff. bemerken noch, daß (\alpha < 1) limx ––> oo (1-\alpha) x\alpha-1 sumbi \leq x bi-\alpha nicht zu existieren braucht.
Reviewer: Edmund Hlawka
Classif.: * 11B83 Special sequences of integers and polynomials
11B05 Topology etc. of sets of numbers
Index Words: number theory
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