Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 038.18201
Autor: Erdös, Pál; Rényi, Alfréd
Title: Some problems and results on consecutive primes. (In English)
Source: Simon Stevin, Wis. Natuurk. Tijdschr. 27, 115-125 (1950).
Review: In Verschärfung eines Satzes von A. Rényi (Zbl 036.16203) wird gezeigt: Es ist c2 log N < G < c3 log N. Damit ist die wahre Größenordnung von G bestimmt. Der Beweis, welcher die Brunsche Siebmethode verwendet, ist elementar, aber verwickelt. Dann wird weiter gezeigt: Ist dn = pn-pn-1, h eine feste ganze Zahl, dann ist die Anzahl der Lösungen von pn \leq N, dn+1 = dn+h höchstens c N/(log N)3/2. Weiter wird in Verschärfung eines Satzes von W. Sierpinski [Remarque sur la répartition des nombres premiers, Colloq. Math. 1, 193-194 (1948; Zbl 037.31402)], der besagt, daß limsupn ––> oo (1/dn+1 /dn+1) = 0 ist, gezeigt: Zu jeder ganzen Zahl N und jedem r < c \sqrt {log N} gibt es eine Primzahl pn \leq N so, daß dn+j \geq {c log N \over r2} (j = 0,1,...,r-1). Dabei folgt noch als Nebenresultat sumpn \leq N {1 \over dn} < {c N log log N \over log 2 N}, während nach unten die Verff. nur > c N/ log2 N zeigen können. Könnte man hier \psi(n) mit \psi(n) ––> oo hinzufügen, so würde daraus limn ––> oo dn / log n = 0 folgen. Eine Tabelle der Werte von dn für alle n \leq 599 beschließt die inhaltsreiche und bedeutende Arbeit, welche leider sinnstörende Druckfehler aufweist.
Reviewer: Hlawka
Classif.: * 11N05 Distribution of primes
11N36 Appl. of sieve methods
00A07 Problem books
Index Words: Number theory
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