Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 036.30702
Autor: Bateman, Paul T.; Chowla, S.; Erdös, Pál
Title: Remarks on the size of L(1,\chi). (In English)
Source: Publ. Math., Debrecen 1, 165-182 (1950).
Review: Es sei \chi ein Restcharakter mod k (\ne Hauptcharakter), dann wird L(1, \chi) betrachtet. Es ist bekannt: |L(1,\chi)| < log k. Die Verff. zeigen (Satz 2): Es ist |L(1,\chi)| < 10/3 {\phi(k) \over k} log k+1 und für großes k, < 7/4 {\phi(k) \over k} log k. Dies ist eine Verschärfung, wenn k viele verschiedene kleine Primfaktoren enthält. Beim Beweis wird von dem Satz von Mertens, dem Primzahlsatz und den Resultaten von B.Rosser (Zbl 019.39401; Zbl 024.25004) Gebrauch gemacht.
Der Hauptteil der Arbeit beschäftigt sich mit einer Vertiefung der Untersuchungen von S.Chowla (Zbl 032.11006). Es werden jetzt nur reelle primitive Charaktere \chi(n) = (d/n) (Kronecker Symbol, d Fundamentaldiskriminante) betrachtet. Ist k = q \equiv 1(4), (g Primzahl), dann ist d = q, ist q\equiv -1(4), dann ist d = -q. Es gilt für L(1,\chi) = Ld(1):
(Satz 1): Durchläuft q alle Primzahlen \equiv 1(4) bzw. \equiv -1 (4), dann ist
limsupq ––> oo {Ld (1) \over log log q} \geq 1/18 eC, liminfq ––> oo (log log q) Ld (1) \leq 18/6 \pi2 e-C. (C Eulersche Konstante). In beiden Fällen ist Ld(1) = sumn = 1oo (n/q) 1/n.
Aus diesem Satz kann gefolgert werden: max sumn = 1m (n/q) = \OmegaR (q^ 1/2 log log q), was bereits früher von S.Chowla (Zbl 006.25403; Zbl 009.25301) unter Verwendung der erweiterten Riemannschen Vermutung gezeigt wurde.
Der Beweis von Satz 1 ist sehr kompliziert. Benützt wird die Arbeit von A.Page (Zbl 011.14905) über Primzahlen in arithmetischen Reihen und ein Lemma von A. Rényi (Zbl 033.16201). Um z. B. den ersten Teil des Satzes (etwa für q \equiv 1(4)) zu zeigen, wird eine Menge \gamma = \gamma(x) von solchen Primzahlen, welche \leq x sind, konstruiert (für ihre Definition sei auf die Arbeit verwiesen), für die gezeigt wird:
sumq\epsilon \gamma log Lq(1) \geq 8 log log log x+S(C- log 18)+o(S) (x ––> oo), wo S die Anzahl der Primzahlen in \gamma ist.
Die Hauptschwierigkeit liegt dabei in der Abschätzung von R = sumq\epsilon \gamma sump > y (p/q) 1/p, wo das Lemma von Rényi eine wichtige Rolle spielt.
Reviewer: Hlawka (Wien)
Classif.: * 11M20 Real zeros of L(s,chi)
Index Words: Number theory
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