Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 032.38604
Autor: Erdös, Pál
Title: Some remarks on polynomials. (In English)
Source: Bull. Am. Math. Soc. 53, 1169-1176 (1947).
Review: Es werden mehrere interessante Ungleichungen bewiesen, von denen einige sich an Resultate von Bernstein, Schur, Fekete, Pólya und Szegö anschließen. Sind fn(x) = prodk = 1n (x-xk), -1 \leq x1 \leq x2 \leq ··· \leq xn \leq 1, f'n(x) = n prodk = 1n-1 (x-yk), -1 \leq y1 \leq ··· \leq yn \leq 1, so besteht die Ungleichung |fn(-1)|+|fn(+1)|+sumk = 1n-1 |fn(yk)| \leq 2n/k im Falle k = 1, k = 2 bzw. k > 2 für jeden Grad n, für n \geq 3 bzw. für n \geq n0(k). [Die Zahl n0(k) wird nicht bestimmt.] Sind -1 = x0 \leq x1 \leq ··· \leq xn+1 = 1, \omega(x) = prodk = 1n (x-xk), lj(x) = \omega(x)/\omega'(xj)(x-xj), so gibt es einen Index k, für den
maxxk < x < x_{k+1} sumj = 1n |lj(x)| < n^ 1/2 ist. Hat das Polynom fn (x) = a0xn+a1 xn-1+···+an reelle ganze Koeffizienten, liegen die Nullstellen von fn(x) im Intervall (-1,+1) und ist fn(-1) fn(0) fn(+1) \ne 0, so ist |a0| \geq 2^ n/2 . (Die Bedingung für die Nullstellen von fn(x) blieb bei der Aussage des Satzes in der Arbeit weg, beim Beweis aber nicht.) Hat fn (z) reelle Koeffizienten und ist |fn(z)| < 1 im Intervall (-1,+1), so ist |fn (z0)| \leq |Tn(z0)|, wenn |z0| > 1 ist und Tn(z) das Tschebyscheffsche Polynom n-ten Grades bedeutet. Die Arbeit enthält noch andere Ungleichungen für Polynome. \smallskip
The author proved some interesting inequalities, some of them are closely related to results of Bernstein, Schur, Fekete, Pólya und Szegö. Let fn(x) = prodk = 1n (x-xk), -1 \leq x1 \leq x2 \leq ··· \leq xn \leq 1, f'n(x) = n prodk = 1n-1 (x-yk), -1 \leq y1 \leq ··· \leq yn \leq 1, then the following inequality is valid
|fn(-1)|+|fn(+1)|+sumk = 1n-1 |fn(yk)| \leq 2n/k in case k = 1, k = 2 resp. k > 2 for each degree n, for n \geq 3 resp. for n \geq n0(k). [The number n0(k) is not computed.] If -1 = x0 \leq x1 \leq ··· \leq xn+1 = 1, \omega(x) = prodk = 1n (x-xk), lj(x) = \omega(x)/\omega'(xj)(x-xj), then there exists an index k with
maxxk < x < x_{k+1} sumj = 1n |lj(x)| < n^ 1/2 .. If the polynomial fn (x) = a0xn+a1 xn-1+···+an has real entire coefficients, the zeros of fn(x) are in the interval (-1,+1) and fn(-1) fn(0) fn(+1) \ne 0, then |a0| \geq 2^ n/2 . (The condition for the zeros of fn(x) has been dropped in the statement of the theorem but not in the proof.) If fn (z) has real coefficients and |fn(z)| < 1 in the interval (-1,+1), then |fn (z0)| \leq |Tn(z0)|, if |z0| > 1 and Tn(z) is the Chebyshev polynomial of degree n. The paper contains further inequalities for polynomials.
Reviewer: Gy.Sz.-Nagy (Szeged)
Classif.: * 26D05 Inequalities for trigonometric functions and polynomials
26C05 Polynomials: analytic properties (real variables)
Index Words: Linear algebra, polynomials
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