Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 024.30601
Autor: Erdös, Pál
Title: Note on some elementary properties of polynomials. (In English)
Source: Bull. Am. Math. Soc. 46, 954-958 (1940).
Review: f(x) sei ein reelles Polynom vom Grade n \geq 2 mit lauter reellen Wurzeln; es sei ferner f(x) \ne 0 für |x| < 1, f(-1) = f(+1) = 0 und max|x| \leq 1 f(x) = 1. Der Verf. beweist: Sind a < b zwei in (-1,+1) liegende Zahlen, für die f(a) = f(b) = d \leq 1 ausfällt, so gilt die Ungleichung b-a \leq 2 \sqrt{1-d}; Integration über d gibt die schon bekannte Ungleichung int-1+1 f(x) dx \leq 4/3 (vgl. Zbl 021.39502); das Gleichheitszeichen steht in beiden Fällen nur für f(x) = 1-x2. Anschließend äußert der Verf. eine Reihe von Vermutungen. z.B.
1) das Maximum von int-1+1 |f(x)| dx unter allen reellen Polynomen n-ten Grades, deren sämtliche Wurzeln in (-1,+1) liegen, und für die max|x| \leq 1 f(x) = 1 ist, wird für f(x) = Tn(x xn) angenommen, wo Tn das n-te Tschebyscheffsche Polynom, xn dessen größte Wurzel bedeuten.
2) Sind unter den gleichen Voraussetzungen xi die der Größe nach geordneten Wurzeln von f(x), so gilt mit einer von i unabhängigen Konstanten intxixi+1 |f(x)| dx \leq dn(xi+1-xi), und das Gleichheitszeichen tritt nur für f(x) = Tn(xxn) ein.
Reviewer: Harald Geppert (Berlin)
Classif.: * 26D05 Inequalities for trigonometric functions and polynomials
26C05 Polynomials: analytic properties (real variables)
33C25 Orthogonal polynomials and functions
Index Words: Analysis
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