Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 024.01601
Autor: Erdös, Paul; Wintner, Aurel
Title: Additive functions and almost periodicity (B2). (In English)
Source: Am. J. Math. 62, 635-645 (1940).
Review: Eine Funktion f(n) wird additiv genannt, wenn f(n1n2) = f(n1)+f(n2) für (n1,n2) = 1; f(1) = 0, und multiplikativ, wenn f(n1n2) = f(n1) f(n2) für (n1, n2) = 1, f(1) = 1. Die Verff. knüpfen an die vorstehend besprochene Arbeit an, in deren Resultaten entweder notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür enthalten sind, daß eine multiplikative Funktion fastperiodisch (B2) ist. Jene Resultate führen jedoch nicht zu einer Bedingung, die gleichzeitig notwendig und hinreichend ist. Die Verff. erörtern, warum dies nicht überraschen kann. Dagegen beweisen sie hier: eine additive Funktion f(n) ist fastperiodisch (B2) dann und nur dann, wenn beide Reihen sump p-1 f(p) und suml = 1oo sump p-l |f(pl)|2 konvergent sind. Der Beweis stützt sich auf ein früheres Ergebnis eines der Verff. (siehe Zbl 014.15401), das nur für ein reellwertiges f(n) gilt, während hier f(n) komplexwertig sein darf. Im Beweise wird von Resultaten der vorstehend besprochenen Arbeit Gebrauch gemacht.
Reviewer: Kienast (Zürich)
Classif.: * 11K70 Harmonic analysis and almost periodicity
11K65 Arithmetic functions (probabilistic number theory)
11N60 Distribution functions (additive and positive multipl. functions)
Index Words: Number theory
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