Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 021.20702
Autor: Erdös, Pál; Kac, M.
Title: On the Gaussian law of errors in the theory of additive functions. (In English)
Source: Proc. Natl. Acad. Sci. USA 25, 206-207 (1939).
Review: Eine zahlentheoretische Funktion f(m) heißt additiv, wenn f(m1m2) = f(m1)+f(m2) für (m1, m2) = 1 gilt. Es sei f(p\alpha) = f(p) und |f(p)| \leq 1 für jede Primzahl p (es genügt auch eine schwächere Voraussetzung), ferner die Folge F(n) = sump < n f2 (p) p-1 divergent. Dann ist für jedes reelle \omega die natürliche Dichte der ganzen Zahlen m mit f(m) < sump < m {f(p) \over p}+\omega \sqrt{2F(m)} gleich \pi- 1/2 int-oooo \exp(-y2)\, dy. Dieser Satz sowie zwei Hilfssätze, auf denen der Beweis beruht, werden ohne Beweis angegeben. Für \omega = 0 folgt: Die Dichte der ganzen Zahlen m mit f(m) < sump < m{f(p) \over p} ist 1/2 . Dies wurde im Spezialfall f(m) = Anzahl der verschiedenen Primteiler von m bereits von Erdös bewiesen.
Reviewer: Rohrbach (Göttingen)
Classif.: * 11N60 Distribution functions (additive and positive multipl. functions)
Index Words: Number theory
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