Zentralblatt MATH
Publications of (and about) Paul Erdös
Zbl.No: 013.00602
Autor: Erdös, Pál; Turán, Pál
Title: Über die Vereinfachung eines Landauschen Satzes. (On a simplification of a theorem of Landau.) (In German)
Source: Mitteil. Forsch.-Inst. Math. Mech. Univ. Tomsk 1, 144-147 (1935).
Review: Es sei \epsilon > 0, a \geq 2, la(k) die kleinste positive Zahl derart, daß ala(k)\equiv 1 (mod k). Es sei S(a,\epsilon) = sumk = 1oo k-1 (la(k))-\epsilon. Die Verff. beweisen S(a, \epsilon) = O(log log a). Schon die Konvergenz der Reihe ist für kein a trivial (falls \epsilon \leq 1), wie die Verff. anzunehmen scheinen. Sie wurde zuerst von N.P.Romanoff [Math. Ann. 109, 668-678 (1934; Zbl 009.00801)] für \epsilon = 1 bewiesen, und E.Landau [Acta Arith. 1, 43-61 (1935; Zbl 011.00901)] zeigte dann, daß S(a,1) = O(log log a)2.
Der von den Verff. gegebene Beweis ist äußerst kurz und einfach und liefert das bestmögliche Resultat, da S(a,1) = o(log log a) falsch ist.
Reviewer: Hans Heilbronn (Cambridge)
Classif.: * 11B25 Arithmetic progressions
Index Words: Algebra, number theory
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