ABSTRACTS
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The Development of Students’ Algebraic Thinking in Earlier Grades:
A Cross-Cultural Comparative Perspective
(Jinfa Cai, Newark, DE (USA); Hee Chan Lew, Cheongwon, Chungbuk (South Korea); Anne Morris, Newark, DE (USA); John C. Moyer, Milwaukee, WI (USA); Swee Fong Ng, Nanyang (Singapore); Jean Schmittau, Binghamton, NY (USA))

We analyzed how algebraic concepts and representations are introduced and developed in the Chinese, South Korean, and Singaporean elementary curricula, and in selected Russian and U.S. elementary curricula. In all five curricula, the main goal for learning algebraic concepts is to deepen students’ understanding of quantitative relationships, but the emphases and approaches to helping students deepen their understanding of quantitative relationships are very different. Based on the analyses of the five curricula, we discuss four issues related to the development of algebraic thinking in earlier grades: (1) To what extent do curricula expect students in early grades to think algebraically? (2) What level of formalism should we expect of students in the early grades? (3) How can we help students make a smooth transition from arithmetic to algebraic thinking? and (4) Are authentic applications necessary for students in early grades?

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In dem Beitrag wird analysiert, wie algebraische Begriffe und Repräsentationen in Grundschulcurricula aus China, Russland, Südkorea, Singapur und USA eingeführt und entwickelt werden. In allen fünf Curricula besteht das Hauptziel des Lernens von algebraischen Begriffen darin, das Verständnis von Lernenden hinsichtlich quantitativer Beziehungen zu vertiefen. Jedoch sind die Schwerpunkte und die Ansätze der fünf Curricula zur Vertiefung des Verständnisses der Schülerinnen und Schüler von quantitativen Beziehungen sehr unterschiedlich. Auf der Basis der Analysen dieser fünf genannten Curricula diskutieren wir vier Themen in Zusammenhang mit der Entwicklung von algebraischem Denken in unteren Jahrgangsstufen: (1) Inwieweit erwarten Curricula von Lernenden in unteren Klassenstufen, algebraisch zu denken? (2) Welchen Grad an Formalismus dürfen wir bei Lernenden der unteren Klassenstufen erwarten? (3) Wie können wir Lernenden zu einem angemessenen Übergang von arithmetischem zu algebraischem Denken verhelfen? und (4) Sind authentische Anwendungen für Lernende der unteren Jahrgangsstufen erforderlich?
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The Development of Algebraic Thinking. A Vygotskian Perspective
(Jean Schmittau, Binghamton, NY (USA))

Vygotsky asserted that the student who had mastered algebra had attained "a new higher plane of thought", a level of abstraction and generalization which transformed the meaning of the lower (arithmetic) level. He also affirmed the importance of the mastery of scientific concepts for the development of the ability to think theoretically, and emphasized the mediating role of semiotic forms and symbol systems in developing this ability. Although historically in mathematics and traditionally in education, algebra followed arithmetic, Vygotskian theory supports the reversal of this sequence in the service of orienting children to the most abstract and general level of understanding initially. This organization of learning activity for the development of algebraic thinking is very different from the introduction of elements of algebra into the study of arithmetic in the early grades. The intended theoretical (algebraic) understanding is attained through appropriation of psychological tools, in the form of specially designed schematics, whose mastery is not merely incidental to but the explicit focus of instruction. The author’s research in implementing Davydov’s Vygotskian-based elementary mathematics curriculum in the U.S. suggests that these characteristics function synergistically to develop algebraic understanding and computational competence as well.

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Vygotsky ging davon aus, dass Lernende, denen es gelingt, Algebra zu beherrschen, "ein höheres gedankliches Niveau" erreicht hätten, eine Ebene von Abstraktion und Generalisierung, welche die Bedeutung der niederen (arithmetischen) Ebene verändert. Er bestätigte auch die Relevanz der Beherrschung von wissenschaftlichen Begriffen für die Entwicklung der Fähigkeit, theoretisch zu denken und betonte dabei die vermittelnde Rolle von semiotischen Formen und Symbolsystemen für die Ausformung dieser Fähigkeit. Obwohl mathematik-historisch und traditionell erziehungswissenschaftlich betrachtet, Algebra der Arithmetik folgte, stützt Vygotski’s Theorie die Umkehrung dieser Sequenz bei dem Bemühen, Kinder an das abstrakteste und allgemeinste Niveau des ersten Verstehens heranzuführen. Diese Organisation von Lernaktivitäten für die Ausbildung algebraischen Denkens unterscheidet sich erheblich von der Einführung von Algebra-Elementen in das Lernen von Arithmetik während der ersten Schuljahre. Das beabsichtigte theoretische (algebraische) Verstehen wird erreicht durch die Aneignung psychologischer Mittel, und zwar in Form von dafür speziell entwickelten Schemata, deren Beherrschung nicht nur beiläufig erfolgt, sondern Schwerpunkt des Unterrichts ist. Die im Beitrag beschriebenen Forschungen zur Implementierung von Davydov’s elementarmathematischen Curriculum in den Vereinigten Staaten, das auf Vygotsky basiert, legt die Vermutung nahe, dass diese Charakteristika bei der Entwicklung von algebraischem Verstehen und von Rechenkompetenzen synergetisch funktionieren.
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The Positioning of Algebraic Topics in the Hong Kong Elementary School Mathematics Curriculum
(Ngai-Ying Wong, Hong Kong (China))

Whether we should include algebra into elementary school mathematics curricula and how it should be included are issues without straightforward answers. The transition from arithmetic to algebra is also a worldwide pedagogical issue. There have been debates about whether all algebraic topics should be transferred from the elementary to the secondary curriculum during the latest curriculum revision in Hong Kong, especially at the time when almost all students enjoy nine years of free education beginning in Grade 1. Therefore, there is no need to consider the elementary and secondary curricula separately. The first Hong Kong elementary mathematics curriculum was published in 1967 (before this point, Hong Kong only had an arithmetic curriculum) and revised several times (in 1973, 1983, 1996, and 2000). By interviewing various key persons involved in the curriculum development during each of these periods, we realized that it is not just a matter of "what" kind of algebraic topics should be taught, and "when" they should be taught. Rather, the positioning of algebra in the elementary school mathematics curriculum is related to "why" and "how" algebra should be learned. Such an analysis should not only inform curriculum planners, but also shed light on the learning and teaching of algebra in elementary schools.

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Ob Algebra in das Grundschulcurriculum aufgenommen werden sollte und wie es berücksichtigt werden sollte, ist ein offenes Problem. Der Übergang von Arithmetik zu Algebra ist auch weltweit ein pädagogisches Thema. In Hongkong gab es während der letzten Curriculumsreform Debatten darüber, ob alle Algebra-Themen vom Grundschul-Curriculum ins Sekundarstufen-Curriculum übernommen werden sollen, insbesondere in Zeiten, wo fast alle Lernenden für die ersten neun Schuljahre eine kostenlose Ausbildung genießen. Von daher ist es nicht nötig, Grundschule und Sekundarstufe getrennt voneinander zu betrachten. Das erste Grundschul-Mathematik-Curriculum von Hongkong wurde 1967 veröffentlicht (davor hatte Hongkong nur ein Arithmetik-Curriculum) und mehrfach verändert (in 1973, 1983, 1996 und 2000). Durch Interviews mit verschiedenen Schlüsselpersönlichkeiten aller genannten Perioden der Curriculums-Entwicklungen haben wir festgestellt, dass es nicht nur darum geht, "welche" Art von algebraischen Inhalten und "wann" sie unterrichtet werden sollen. Die Positionierung von Algebra im Grundschul-Curriculum ist verbunden mit der Frage nach dem "warum" und "wie" Algebra gelernt werden soll. Eine solche Analyse sollte nicht nur als Information für Curriculums-Planer dienen, sondern auch das Augenmerk auf das Lernen und Lehren von Algebra in Grundschulen lenken.
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Helping Elementary Teachers Build Mathematical Generality into Curriculum and Instruction
(Maria L. Blanton and James J. Kaput, Dartmouth, MA (USA))

This article explores how elementary teachers can use functional thinking to build algebraic reasoning into curriculum and instruction. In particular, we examine how children think about functions and how instructional materials and school activities can be extended to support students’ functional thinking. Data are taken from a five-year research and professional development project conducted in an urban school district as well as from a graduate course for elementary teachers taught by the first author. We propose that elementary grades mathematics should, from the start of formal schooling, extend beyond the fairly common focus on recursive patterning to include curriculum and instruction that deliberately attends to how two or more quantities vary in relation to each other. We discuss how teachers can transform and extend their current resources so that arithmetic content can become opportunities for pattern building, conjecturing, generalizing, and justifying mathematical relationships between quantities and how teachers might embed this mathematics within the kinds of socio-mathematical norms that help children build mathematical generality.

Der Beitrag untersucht, wie Grundschullehrerinnen und -lehrer funktionales Denken einsetzen können, um algebraisches Argumentieren in Curriculum und Unterricht zu integrieren. Insbesondere wird untersucht, wie Kinder über Funktionen und wie Unterrichtsmaterial und Unterrichtsaktivitäten ausgeweitet werden können, um das funktionale Denken der Schülerinnen und Schüler zu fördern. Dabei stützt sich der Beitrag auf Daten aus einer Fünf-Jahres-Studie, die im Rahmen eines Forschungs- und Fortbildungsprojekts in einem städtischen Schulbezirk sowie in von dem erstgenannten Autor durchgeführten Universitätsveranstaltungen für Grundschullehrerinnen und -lehrer durchgeführt wurde. Es wird vorgeschlagen, dass der Mathematikunterricht bereits ab seinem Beginn über die weithin übliche Thematisierung rekursiver Muster hinausgehen und curriculare Aspekte berücksichtigen sollte, die bewusst die Veränderung zweier oder mehrerer Größen thematisieren. Es werden Vorschläge entwickelt, wie Lehrpersonen ihre üblichen Ressourcen erweitern können, so dass arithmetische Inhalte Gelegenheit bieten für die Entwicklung von Mustern, Vermutungen, Verallgemeinerungen und Begründungen von mathematischen Beziehungen zwischen Größen. Des Weiteren sollen die Vorschläge Lehrpersonen aufzeigen, wie sie diese Art von Mathematik in sozio-mathematische Normen einbetten können, um den Kindern zu helfen, mathematische Verallgemeinerungen zu entwickeln.
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Preparing Teachers to Foster Algebraic Thinking
(Hilda Borko, Jeff Frykholm, Mary Pittman, Eric Eiteljorg, Mary Nelson, Jennifer Jacobs,
Karen Koellner-Clark, Craig Schneider, Boulder, CO (USA))

The purpose of this article is to share the conceptual framework and beginning analyses of data from a teacher professional development program that focuses on cultivating teachers’ understanding of algebraic thinking, learning, and teaching. Specifically, in this paper we share: (1) the conceptual framework that has guided the structure of the professional development program and research agenda, and (2) an initial set of findings from the first component of the program. These findings illustrate strategies for developing community among teachers, as well as the potential of using a professional learning community as a context for fostering teacher learning.

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Ziel dieses Beitrags ist, den konzeptionellen Rahmen und erste Analysen von Daten aus einem Fortbildungsprogramm für Lehrpersonen darzustellen, das darauf ausgerichtet ist, das Verständnis von Lehrpersonen für algebraisches Denken, Lernen und Lehren auszubilden. Insbesondere stellen wir vor: Erstens den konzeptionellen Rahmen, der die Struktur des Fortbildungsprogramms für Lehrpersonen geleitet hat sowie den Forschungsablauf und zweitens erste Erkenntnisse aus dem ersten Programmteil. Diese ersten Erkenntnisse zeigen zum einen Strategien für die Entwicklung von Lehrergemeinschaften auf und zum anderen das Potential der Verwendung von Lehrergemeinschaften für Lehrerfortbildung.
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Algebra in Elementary School: Developing Relational Thinking
(Thomas P. Carpenter, Madison, WI (USA); Linda Levi, Madison, WI (USA); Megan Loef Franke, Los Angeles, CA (USA); Julie Koehler Zeringue, Newton, MA (USA))

We have characterized what we call relational thinking to include looking at expressions and equations in their entirety rather than as procedures to be carried out step by step. For the last 8 years, we have been studying how to provide opportunities for students to engage in relational thinking in elementary classrooms and how to use relational thinking to learn arithmetic. In this article, we present interviews with two third-grade students from classrooms that foster the use of relational thinking. In both cases, we focus on the distributive property. The first example illustrates how a teacher scaffolds a sequence of number sentences to help a student begin to relate multiplication number facts using the distributive property. The second example shows another student who is already using the distributive property and the extent of his knowledge.

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Wir gehen in dem Beitrag von einer Charakterisierung von relationalen Denken aus und beschreiben, was es bedeutet, die Analyse von Termen und Gleichungen mehr ganzheitlich zu betrachten als als schrittweise auszuführende Prozeduren. Während der letzten 8 Jahre haben wir untersucht, wie Lernenden in Grundschulklassen Möglichkeiten zum Betreiben und Anwenden von relationalen Denken beim Lernen von Arithmetik angeboten werden können. In diesem Beitrag stellen wir Interviews mit zwei Schülern aus dritten Jahrgangsklassen vor, in denen die Anwendung von relationalen Denken gezielt gefördert wird. In beiden Fällen kommt es uns besonders auf die distributive Eigenschaft der Multiplikation an. Das erste Beispiel zeigt deutlich, wie eine Lehrperson eine Folge von Zahlensätzen aufbaut, um einem Schüler dabei zu helfen, zu beginnen, multiplikative Zahleneigenschaften in Beziehung zu setzen unter Verwendung der Distributionseigenschaft. Das zweite Beispiel zeigt einen weiteren Schüler, der bereits die Distributionseigenschaften anwendet sowie seinen Wissensstand.
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Adaptive Interpretation: Building Continuity Between Students' Experiences Solving Problems in Arithmetic and in Algebra
(Andrew Izsák, Bradford R. Findell, Athens, GA (USA))

We discuss opportunities to build better continuity between students’ experiences in arithmetic and in algebra by examining ways that external representations can be used to solve problems. We use examples from our research on algebra learning to illustrate often overlooked complexities that arise when using a single representation to analyze relationships and patterns of change between two covarying quantities. We use the term adaptive interpretation to describe ways in which, in the course of solving problems about situations that contain covarying quantities, students must shift their perspective on a representation as they shift their thinking about the situation. One set of examples demonstrates students’ difficulties shifting their perspective on equations when shifting their attention from a varying quantity in a situation to a specific unknown value of that quantity. A second demonstrates students’ difficulties shifting their perspective on tables and graphs when shifting their attention from initial quantities in a situation to changes in those quantities. Finally, we describe possible antecedent experiences with adaptive interpretation in arithmetic problem solving that could better prepare students for solving problems about situations containing covarying quantities.

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Wir diskutieren Möglichkeiten zur Entwicklung eines besseren, kontinuierlichen Übergangs von arithmetischen zu algebraischen Erfahrungen der Lernenden, indem wir die Rolle externer Repräsentationen beim Problemlösen untersuchen. Wir verwenden Beispiele aus unseren Untersuchungen über das Lernen von Algebra, um häufig übersehene Schwierigkeiten aufzuzeigen, die entstehen, wenn nur eine Repräsentation verwendet wird, um Beziehungen zwischen zwei kovariierenden Größen und deren Veränderungen zu analysieren. Wir verwenden den Terminus adaptive Interpretation um die Wege zu beschreiben, in denen im Problemlöseprozess mit kovariierenden Größen Lernende ihre Perspektive auf Repräsentationen ändern müssen, wenn sich ihr Denken über die zugehörige Situation ändert. Einige ausgewählte Beispiele demonstrieren die Schwierigkeiten von Lernenden, ihre Perspektive in Zusammenhang mit Gleichungen zu wechseln, wenn ihre Aufmerksamkeit von einer variierenden Größe in einer Situation zu einem unbekannten Wert dieser Größe übergeht. Weitere Beispiele demonstrieren die Schwierigkeiten von Lernenden, ihre Perspektive auf Tabellen und Graphen zu wechseln, wenn ihre Aufmerksamkeit von den ursprünglichen Größen in einer Situation zu den Veränderungen bei diesen Größen wechselt. Abschließend beschreiben wir mögliche frühe Erfahrungen mit adaptiven Interpretationen beim Lösen von arithmetischen Problemen, die Lernende besser auf Problemlösungen mit kovariierenden Größen vorbereiten.
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Middle School Students’ Understanding of Core Algebraic Concepts: Equivalence & Variable
(Eric J. Knuth, Martha W. Alibali, Nicole M. McNeil, Aaron Weinberg, Ana C. Stephens Madison, WI (USA))

Algebra is a focal point of reform efforts in mathematics education, with many mathematics educators advocating that algebraic reasoning should be integrated at all grade levels K-12. Recent research has begun to investigate algebra reform in the context of elementary school (grades K-5) mathematics, focusing in particular on the development of algebraic reasoning. Yet, to date, little research has focused on the development of algebraic reasoning in middle school (grades 6-8). This article focuses on middle school students’ understanding of two core algebraic ideas—equivalence and variable—and the relationship of their understanding to performance on problems that require use of these two ideas. The data suggest that students’ understanding of these core ideas influences their success in solving problems, the strategies they use in their solution processes, and the justifications they provide for their solutions. Implications for instruction and curricular design are discussed.

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Algebra ist einer der Schwerpunkte der Reformbemühungen in der Mathematikdidaktik, und viele Mathematikdidaktiker fordern daher, dass algebraisches Begründen in alle Klassenstufen ab der Vorschule bis Jahrgangsstufe 12 integriert werden sollte. Neuere Studien haben begonnen, Reformen des Algebraunterrichts im Kontext des Mathematikunterrichts an der Grundschule zu untersuchen; dabei legen sie den Schwerpunkt auf die Entwicklung von algebraischem Argumentieren. Bisher gibt es nur wenige Untersuchungen, die sich mit der Entwicklung des algebraischen Argumentierens im unteren Sekundarbereich befassen. Dieser Beitrag untersucht nun vor allem das Verständnis von Lernenden des unteren Sekundarbereichs hinsichtlich zweier algebraischer Grundideen - Gleichungen und Variablen - sowie den Zusammenhang ihres Verständnisses mit ihren Leistungen bei Aufgaben, für welche die Anwendung dieser beiden Grundideen zentral ist. Die Daten legen die These nahe, dass das Verständnis der Lernenden hinsichtlich dieser beiden zentralen Ideen sowohl Auswirkungen auf ihre Erfolge beim Lösen der Aufgaben haben, als auch auf die während des Lösungsprozesses verwendeten Strategien sowie auf die von ihnen gegebenen Begründungen für ihre Lösungen. Ferner werden Auswirkungen auf Unterricht und Curriculumentwicklung diskutiert.
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