ABSTRACTS
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Analyses: Proof and Argumentation in the Mathematics Classroom

Another Approach to Proof: Arguments from Physics
Gila Hanna, Toronto (Canada); Hans Niels Jahnke, Essen (Germany)

In the first part of the paper we will explore the use of arguments from physics in mathematical proof and give some reasons why this approach might be worthwhile. In the second part we will relate this idea to Freudenthal’s concept of local organization. The third part of the paper will present the results of an empirical study conducted in Canada on the classroom use of arguments from physics in mathematical proof.

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Ein anderer Zugang zum Beweis: Argumente aus der Physik:Im ersten Teil diskutieren wir den Gebrauch physikalischer Argumente in mathematischen Beweisen und begründen, warum dieser Zugang im Unterricht sinnvoll sein kann. Im zweiten Teil stellen wir eine Verbindung zu Freudenthals Begriff des lokalen Ordnens her. Der dritte Teil enthält Ergebnisse eines in Canada durchgeführten Unterrichtsversuchs zur Anwendung physikalischer Argumente bei mathematischen Beweisen.
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Informal Prerequisites for Informal Proofs
Aiso Heinze, Jee Yi Kwak, Oldenburg (Germany)

Reasoning and proof play an important role in the mathematics classroom. However, prerequisites for the learning of mathematical reasoning and proof, such as logical competence or the understanding of concepts and proofs, are rarely taught explicitly. In an empirical survey with 106 students in grade 8 we investigated students’ declarative and methodological knowledge related to some of these prerequisites. The results show that there are certain deficits which make it difficult for students to learn reasoning and proof.

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Informelle Voraussetzungen für informelle Beweise. Beweisen und Begründen sind wichtige Ziele des Mathematikunterrichts. Das Erlernen von mathematischem Beweisen und Begründen setzt dabei bestimmte Fähigkeiten und Kentnisse voraus, wie beispielsweise logische Kompetenz, Begriffs- und Beweisverständnis, die im Mathematikunterricht allerdings häufig nicht explizit behandelt werden. Die Ergebnisse einer empirischen Untersuchung von 106 Schülerinnen und Schülern aus Jahrgang 8 zeigen, dass diese Voraussetzungen für das Erlernen von Beweisen und Begründen nur unzureichend gegeben sind.
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Defining a Rectangle under a Social and Practical Setting by Two Seventh Graders
Fou-Lai Lin, Kai-Lin Yang, Taipei

Regarding defining as a mathematical activity bridging informal to formal proof, two seventh graders will reinvent the definition of rectangles under a social and practical setting based on their informal argumentation. Their apprehensions of figures, implicit concepts/theorems and the cognitive architecture of defining are discussed in this paper.

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Definition eines Rechtecks von zwei Siebtklässlern in einer sozialen und praxisbezogenen Lernumgebung.In diesem Beitrag wird geschildert, wie zwei Siebtklässlerinnen auf der Grundlage informeller Argumentationen die Definition des Rechtecks entwickeln. Grundlage der Betrachtungen sind ihr Verständnis von Figuren, ihre impliziten Konzepte und Sätze sowie ihr kognitives Verständnis vom Definieren. Dabei wird Definieren als eine mathematische Aktivität angesehen, die informelles und formales Beweisen miteinander verbindet.
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Learning to prove: The idea of heuristic examples
Kristina Reiss, Oldenburg (Germany); Alexander Renkl, Freiburg (Germany)

Proof is an important topic in the area of mathematics curriculum and an essential aspect of mathematical competence. However, recent studies have revealed wide gaps in student's understanding of proof. Furthermore, effective teaching to prove, for example, by Schoenfeld's approach, is a real challenge for teachers. A very powerful and empirically well founded method of learning mathematics, which is also relatively easy to implement in the classroom, is learning through worked-out examples. It is, however, primarily suited for algorithmic content areas. We propose the concept of using heuristic worked-out examples, which do not provide an algorithmic problem solution but offer instead heuristic steps that lead towards finding a proof. We rely on Boero's model of proving in designing the single sub-steps of a heuristic example. We illustrate our instructional idea by presenting an heuristic example for proving that the interior angles in any triangle add up to 180°.

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Beweisen lernen: Die Idee heuristischer Beispiele. Es ist ein wichtiges Ziel des Mathematikunterrichts in der Sekundarstufe, das die Schülerinnen und Schülern ein Verständnis für mathematisches Argumentieren und Beweisen entwickeln. Doch verschiedene neuere Studien belegen, dass das Erreichen dieses Ziels mit erheblichen Schwierigkeiten für Schüler und Lehrer verbunden ist. Nun ist empirisch gut belegt, dass das Lernen mithilfe ausgearbeiteter Lösungsbeispiele in der Mathematik zu guten Ergebnissen führen kann und darüber hinaus auch leicht in den konkreten Unterricht integriert werden kann. Diese Methode ist allerdings im Wesentlichen für algorithmische Inhalte geeignet. Als eine didaktisch sinnvolle Erweiterung wird im Folgenden das Konzept heuristischer ausgearbeiteter Lösungsbeispiele betrachtet. Dabei steht nicht ein Lösungsalgorithmus im Vordergrund, sondern die Aufeinanderfolge geeigneter heuristischer Schritte. Wir verwenden das Modell des Beweisens von Boero zum Aufbaus des Konzepts. Am Beispiel des Satzes von der Winkelsumme im Dreieck werden die grundlegenden Ideen konkretisiert.
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