16. Правильно используйте обозначения. Со специальными знаками много вреда не наделаешь, но и здесь полезно быть последовательным и избегать в отдельности незаметных, а в совокупности разъедающих злоупотреблений. Например, хорошо использовать символ с таким постоянством, чтобы его словесный эквивалент был всегда одним и тем же. Это — хорошо, но почти невозможно. Тем не менее, лучше стремиться хоть к этому, чем ни к чему. Как следует читать Î: как сказуемое «лежит в» или как предлог «в»? Как правильно сказать: «Для всех х Î A имеем х Î B» или «Если х Î A, то х Î B»? Я решительно предпочитаю последнее (всегда читаю Î как «лежит в») и вдвойне осуждаю первое (ведь оба чтения встретились в одной фразе). Легко написать и легко прочитать: «Для всех х из A мы имеем: х Î B»; диссонанс и легкая двусмысленность обойдены. То же самое относится к Ì, несмотря на то, что словесный эквивалент здесь длиннее, и даже к символу £ . Фраза типа «Если только положительное число £3, то его квадрат £9» уродлива.

Не только абзацы, фразы, слова, буквы и математические символы, но и невинные с виду знаки обычного повествования могут служить источником недоумении; я имею в виду знаки препинания. Достаточно пары советов. Первый: уравнение, неравенство или включение, или любое другое математическое выражение, по своему содержанию эквивалентно некоторому предложению обычного языка и поэтому оно должно отделяться от соседних с ним выражений. Другими словами: расставляйте знаки препинания в символических фразах как в обычных словесных предложениях. Второй совет: не перетруждайте такие мелкие знаки, как точка или запятая. Читатель легко может проглядеть их, а такая оплошность вынуждает вернуться назад, вызывает замешательство, задерживает. Пример: «Предположим, что a Î X. X принадлежит классу C, …». Точка между двумя буквами X несет излишнюю нагрузку. Вот еще: «Предположим, что X обращается в нуль. X принадлежит классу C, …». Хорошее общее правило: никогда не начинайте фразу с символа. Если уж вы непременно хотите начать фразу с упоминания объекта, который обозначается данным символом, то и поставьте подходящее слово в самом начале: «Множество X принадлежит классу C, …».

Перетруженная точка не хуже, чем перетруженная запятая. Не пишите «Если X обратим, X* также обратим»; лучше: «Если X обратим, то и сопряженный к нему X* также обратим». Не пишите также «Так как p ¹ 0, p Î U»; вместо этого пусть будет: «Из того, что p ¹ 0, следует, что p Î U». Даже обычная фраза «Не хотите, не надо» (т.е. ее математические эквиваленты) усваивается хуже, чем напыщенное «Если вам это и не нравится, то придется вам это проглотить». Я рекомендовал бы ставить после «если» «то» во всех математических текстах. Наличие слова «то» никогда не приведет к недоразумению, а вот его отсутствие — может.

Последняя техническая деталь, которая может помочь в писательской работе, и которую здесь следует упомянуть, в некотором смысле еще меньше, чем знаки препинания, в некотором смысле она просто невидима, но в другом смысле она заметнее всего на печатной странице. Я говорю о плане, архитектуре, внешнем виде страницы самой по себе и, вообще, всех страниц.

Опыт писательской работы и, возможно, трезвого и критического чтения должен придать вам способность чувствовать, как будет смотреться в напечатанном виде то, что вы пишете сейчас. Если текст выглядит как плотная проза, то в печати он приобретет вид непривлекательной проповеди; если это — вычислительная мешанина, и страница набита формулами, то в напечатанном виде текст будет пугать своей сложностью. Лучше всего — золотая середина. Делите текст, но не дробите его; пользуйтесь словесными периодами, но не слишком длинными. Выносите формулы между строк, чтобы глаза могли помогать мозгу; применяйте символы, но перекладывайте их словами, чтобы внимание не плутало в чаще индексов.

17. Всякое сообщение требует организации. Выше я уже говорил, а сейчас хотел бы подчеркнуть это вновь, что различия между книгами, статьями, лекциями и письмами и всеми иными способами сообщения, какие вы можете придумать, меньше, чем сходство.

Когда вы пишете исследовательскую статью, роль «клочков бумаги», из которых составляется набросок книги, могут играть открытые вами теоремы и доказательства; вам все равно придется раскладывать из них пасьянс.

С лекцией дело обстоит немного иначе. Поначалу лекция — это статья; вы планируете ее и пишете как статью. Различие состоит в том, что вам приходится держать в уме трудности устного ее воспроизведения. Читатель может разрешить себе отвлечься, а потом вновь ухватить нить повествования, не потеряв ничего, кроме собственного времени. Слушатели в аудитории не могут себе этого позволить. Читатель может попытаться доказать ваши теоремы самостоятельно, используя при этом ваше изложение как контролирующее подспорье, а слушатель не может этого сделать. Продолжительность очередной порции читательского внимания довольно коротка, а у слушателя она намного короче. Если вычисления неизбежны, то читателя можно им подвергнуть, а слушателя — никогда. Половина искусства хорошо писать — это искусство пропускать; для лектора искусство пропускать составляет девять десятых дела. Здесь различия еще невелики. Даже хорошо написанная статья, прочитанная вслух, может оказаться ужасной лекцией; она, однако, не будет хуже некоторых лекций, которые мне доводилось слушать.

Для лектора вид печатной страницы заменяется видом доски, а воображаемая автором аудитория — живыми людьми. Это уже значительные различия. Доска открывает возможности, которых нет у листа бумаги: на ней можно показать, как тема живет и растет. (Лекторы, подготовляющие доску заранее и записывающие ее целиком до того, как начинают говорить, поступают неразумно и недоброжелательно по отношению к слушателям.) Живые люди обеспечивают мгновенную реакцию на сказанное; для автора текста это — недостижимая мечта.

Основные проблемы общения при изложении во всех случаях одинаковы; их я и описал в этом очерке. Содержание, цель и организация изложения, плюс жизненно важные детали грамматики, стиля и обозначений, но ни в коем случае не показные трюки, — вот основные составляющие элементы хороших лекций и хороших книг.

18. Отстаивайте свой стиль. Ровная, последовательная, эффективная манера изложения имеет своих врагов; эти враги называются помощниками редактора или корректорами.

Редактор может оказать огромную помощь автору текста. Обычно авторы математических текстов живут без этой помощи, потому что редактор математической книги должен быть математиком, а редакторов-математиков очень мало. Идеальный редактор, который в принципе должен разбираться в теме до мелочей, может высказать квалифицированную, но беспристрастную точку зрения на проделанную автором работу; сам автор этого сделать не может. Идеальный редактор представляет собой объединение друга, жены, ученика и студента младшего курса, роль которых в создании книг описана выше. Математические редакторы книжных серий и журналов даже близко не подходят к этому идеалу. Издательская работа является лишь небольшой частью их жизни, тогда как для хорошего редактора она должна целиком заполнять рабочий день. Идеального математического редактора не существует; комбинация друг — жена — и т.д. — лишь почти идеальная замена.

Помощник редактора — это весь день работающий сотрудник, задача которого состоит в обнаружении вашей непоследовательности, ваших грамматических и стилистических ошибок — словом, всевозможных огрехов, за исключением математических. Беда в том, что помощник редактора не рассматривает себя как продолжение автора, а, как правило, вырождается в робота, некстати применяющего механически механические правила. Позвольте привести некоторые примеры.

Однажды я изучал некоторые преобразования, названные «measure-preserving» ⁷. (Обратите внимание на дефис: он играет важную роль, соединяя два слова в одно прилагательное.) Соответствующим свойством не обладали другие преобразования, участвующие в изложении; разумеется, на это обстоятельство было указано с помощью приставки «non». После длинного ряда неверно понятых указаний в верстке появились «non measure preserving transformations». Конечно, это — бессмыслица, хоть и забавная, но отвлекающая и неприятная.

Один знакомый математик говорил, что в рукописи своей книги он написал нечто вроде следующего: «p или q имеют место в зависимости от того, является ли, соответственно, x отрицательным или положительным». Помощник редактора исправил это так: «p или q имеют место в зависимости от того, является ли, соответственно, x положительным или отрицательным»; ему показалось, что так фраза звучит лучше. Это было бы смешно, если бы не было так грустно, и, конечно, совершенно ошибочно.

Общая жалоба всех, когда-либо обсуждавших с помощником редактора вопрос о кавычках, связана с отношением кавычек к другим знакам препинания. По-видимому, существует международное соглашение печатников, согласно которому точка или запятая сразу после кавычек «некрасивы». (Как здесь: помощник редактора исправил бы конец фразы на «некрасивы.» ⁸, если бы я ему это позволил.) С точки зрения логичного математика (и тем более, математического логика) такое соглашение не имеет смысла; запятая или точка должны появляться там, где того требует логика ситуации. Например: Он сказал: «Запятая — это некрасиво.» ⁸. Здесь, очевидно, точка относится к закавыченной фразе; две описанные ситуации различны и никакое негибкое правило нельзя применить к ним обеим.

Мораль: существуют правила «стиля» (чаще всего это — типографские условности), но их механическое применение помощниками редактора может оказаться губительным. Если вы хотите быть автором, то вы должны быть готовы защищать свой стиль и драться за него.

19. Поставьте точку. Битва с корректорами — последняя задача автора; однако не многие авторы так считают. Психологически последний шаг делается перед этим; он состоит в том, чтобы закончить книгу — перестать писать. Это трудно.

Всегда находится что-то недоделанное, всегда можно кое-что сказать еще, или удачнее выразить уже сказанное; в лучшем случае остается смутное чувство, что еще немного — и можно было бы достичь совершенства, отказавшись от которого, обречешь себя на вечное раскаяние. Я пишу это, сожалея, что не включил один-два абзаца о благозвучии и просодии в математическом тексте. И потом, минуточку! Нельзя же закончить, не обсудив, как правильно называть понятия (почему «коммутатор» — это хорошо, а «множество первой категории» — плохо) и теоремы (почему «теорема о замкнутом графике» — это хорошо, а «теорема Коши–Буняковского–Шварца» — плохо). Да, и вот еще маленькая заповедь, которую мне все не удавалось как следует сформулировать: выберите себе образец, хотел я сказать, человека, чьи книги вас учат и увлекают, приспособьте его стиль к вашей личности и вашей теме… Уж это-то следует написать где-нибудь.

У этой задачи — одно решение, очевидное: единственный способ остановиться — быть безжалостным к себе. Вы можете и должны ненадолго отсрочить агонию, вычеркивая текст, проверяя вычисления, или отложив рукопись для дозревания и затем перечитывая ее целиком на едином вздохе; но и после всего этого ваш пыл не остынет.

Когда вы написали все, что пришло вам в голову, выделите денек-другой, чтобы быстро прочесть рукопись и проверить самое существенное, что может броситься в глаза со стороны. Все ли хорошо с математической точки зрения? Интересно ли изложение? Понятен ли язык? Удачна ли и легка для чтения композиция? После этого вычитывайте и проверяйте вычисления. Это — очевидный совет; все знают, как это делать. Что такое «дозревание» — легко объяснить, но не всегда легко выполнить: для этого нужно убрать рукопись с глаз долой и попытаться забыть о ней на несколько месяцев. Когда вы все это сделали и перечитали работу спокойно, вы сделали все, что могли. Не пытайтесь получить еще хоть один результат, перестаньте зализывать шероховатости. Даже если вы и получите этот результат и сгладите острый угол, вам захочется пуститься в погоню за новым миражем.

Я подытоживаю: начинайте с начала, и продолжайте, пока не придете к концу, а потом поставьте точку.

20. Заключительное слово. Я исчерпал все советы по поводу математического сочинения, которые смог вместить в один очерк. Мои рекомендации основаны частично на том, что делаю я сам, в большей степени — на том, чего я, к сожалению, не смог сделать, и в еще большей степени — на том, что я хотел бы получать от других. Вы можете критиковать меня с многих точек зрения, но только не сравнивайте мои нынешние заповеди с моими прошлыми делами. Делайте, пожалуйста, так, как я говорю, а не так, как я делаю — да сопутствует вам удача. Потом перепишите этот очерк и объясните следующему поколению, как работать еще лучше.