О многочленах наилучшего приближения сегментных функций

Трынин А. Ю.
Владикавказский математический журнал. 2023. Том 25. Выпуск 1.С.105-111.

Аннотация:
Предложен алгоритм поиска многочлена наилучшего приближения для непрерывной многозначной сегментной функции, заданной на совокупности не пересекающихся отрезков \(X=\big(\bigcup_{j_{1}=0}^{n_1}[a_{j_1},b_{j_1}]\big) \cup\big(\bigcup_{k=0}^n x_k\big)\) таких, что \(\big(\bigcup_{j_{1}=0}^{n_1}[a_{j_1},b_{j_1}]\big) \cap\big(\bigcup_{k=0}^n x_k\big)=\varnothing\), где не пересекающиеся отрезки \([a_{j_1},b_{j_1}]\) и точки \(x_k\) принадлежат ограниченному отрезку \([A,B]\subset \mathbb{R}\). Считаем, что функции \(f_{1}\) и \(f_{2}\) непрерывны на множестве \(X\), и всюду на \(X\) значение функции \(f_{1}(x)\) не превосходит значение функции \( f_{2}(x)\). Оператор, ставящий в соответствие каждому \(x\in X\) отрезок \([(x,f_{1}(x)),(x,f_{2}(x))]\), будем называть сегментной функцией \({\cal F} (x)\), заданной на \(X\). В силу непрерывности функций \(f_{1}\) и \(f_{2}\) сегментная функция \({\cal F}\) является \(h\)-полунеперывным отображением сверху. Многочлен \(P_{m}=\sum_{i=0}^{m}a_{i}x^{i}\) наилучшего приближения в метрике Хаусдорфа на множестве \(X\) сегментной функции \({\cal F}\) с вектором коэффициентов \(\vec{a}=(a_0,a_1,\dots,a_m)\in {\mathbb{R}^{m+1}}\) есть решение экстремальной задачи \(\min_{\vec{a}\in {\mathbb{R}^{m+1}}}\max_{x\in X}\max(P_{m}(x)-f_{1}(x),f_{2}(x)-P_{m}(x)).\) Методами конструктивной теории функций показано, что для любых непрерывных на \(X\) функций \(f_{1}(x)\le f_{2}(x)\) существует многочлен наилучшего приближения в xаусдорфовой метрике \(h\)-полунепрерывной сверху на множестве \(X\) сегментной функции \({\cal F} (x)\). Предложен алгоритм описания множества \(Е\) коэффициентов \(\vec{a}\) многочленов наилучшего приближения сегментной функции. Получены необходимые и достаточные условия единственности многочлена наилучшего приближения сегментной функции. Приведены результаты численных экспериментов, реализованных с помощью предложенного алгоритма.

Ключевые слова: наилучшее приближение функции, аппроксимация многочленами, сегментная функция

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы