Аннотация: В этой статье мы изучаем поведение решения при неограниченном возрастании времени и компактификацию носителя задачи Коши для дважды вырождающихся параболических уравнений с сильным градиентным демпфированием. При соответствующих предположениях на структуру уравнения и данные задачи устанавливается новая точная оценка решений при неограниченном возрастании времени. Более того, когда носитель начальных данных компактен, мы доказываем, что носитель решения содержится в шаре с радиусом, не зависящим от времени. При критическом поведении члена c демпфированием носитель решения зависят от времени логарифмически при достаточно больших значениях времени. Основной инструмент доказательства основан на нетривиальных цилиндрических вложениях типа Гальярдо - Ниренберга и итерационных неравенствах. Равномерные оценки решения доказываются модифицированным вариантом классического метода Де-Джорджи - Ладыженской - Уральцевой - ДиБенедетто. Подход статьи достаточно гибкий и может быть использован при дальнейшем изучении задач Коши-Дирихле и Коши - Неймана в областях с некомпактными границами.
Ключевые слова: дважды вырождающиеся параболические уравнения, сильный градиент демпфирование, конечная скорость распространения, поведение на большом времени
Образец цитирования: Tedeev Al. F. and Tedeev An. F. Large Time Decay Estimates of the Solution to the Cauchy Problem of Doubly Degenerate Parabolic Equations with Damping // Владикавк. мат. журн. 2023. Т. 25, № 1. C. 93-104 (in English).
DOI 10.46698/t4621-4848-0414-e
1. Antontsev, S. N., Diaz, J. I. and Shmarev, S. I. Energy Methods for Free
Boundary Problems: Applications to Non-Linear PDEs and Fluid Mechanics,
Progress in Nonlinear Differential Equations and
Their Applications, vol. 48, Boston, Bikhauser, 2002.
2. Laurencot, Ph. and Vazquez, J. L. Localized non-Diffusive Asymptotic Patterns
for Nonlinear Parabolic Equations with Gradient Absorptionm, Journal of Dynamics
and Differential Equations, 2007, vol. 19, no. 4, pp. 985-1005. DOI: 10.1007/s10884-007-9093-y.
3. Andreucci, D. Degenerate Parabolic Equations with Initial Data Measure,
Transactions of the American Mathematical Society, 1997, vol. 349, no. 10, pp. 3911-3923.
4. Deng, L. and Shang, X. Doubly Degenerate Parabolic Equation with Time Gradient
Source and Initial Data Measure, Hindawi Journal of Function Spaces, 2020, pp. 1-11.
DOI: 10.1155/2020/1864087.
5. Benachour, S., Roynette, B. and Vallois, P. Asymptotic Estimates of
Solutions of \(u_{t+\Delta u=-\vert \nabla u\vert\), Journal of Functional Analysis,
1997, vol. 144, no. 2, pp. 301-324. DOI: 10.1006/jfan.1996.2984.
6. Benachour, S. and Laurencot, Ph. Global Solutions to Viscous Hamilton-Jacobi
Equations with Irregular Initial Data, Communications in Partial Differential Equations,
1999, vol. 24, no. 11-12, pp. 1999-2021. DOI: 10.1080/03605309908821492.
7. Benachour, S., Laurencot, Ph. and Schmitt, D. Extinction and Decay
Estimates for Viscous Hamilton-Jacobi Equations in \(\mathbb{R^N}\), Proceedings
of the American Mathematical Society, 2001, vol. 130, no. 4, pp. 1103-1111.
DOI: 10.1090/S0002-9939-01-06140-8.
8. Ben-Artzi, M., Souplet, Ph. and Weissler, F. B. The Local Theory for Viscous
Hamilton-Jacobi Equations in Lebesgue Spaces, Journal de Mathematiques Pures et Appliques,
2002, vol. 81, no. 4, pp. 343-378. DOI: 10.1016/S0021-7824(01)01243-0.
9. Benachour, S., Laurencot, Ph., Schmitt, D. and Souplet, Ph. Extinction and
Nonextinction for Viscous Hamilton-Jacobi Equations in \(\mathbb{R^N}\),
Asymptotic Analysis, 2002, vol. 31, no. 3-4, pp. 229-246.
10. Gilding, B. H., Guedda, M. and Kersner, R. The Cauchy Problem for \(u_{t}=\Delta u+\vert \nabla u\vert ^{q}\), Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2003,
vol. 284, no. 2, pp. 733-755. DOI: 10.1016/S0022-247X(03)00395-0.
11. Andreucci, D., Tedeev, A. F. and Ughi, M. The Cauchy Problem for
Degenerate Parabolic Equations with Source and Damping, Ukrainian Mathematical
Bulletin, 2004, no. 1, pp. 1-23.
12. Benachour, S., Karch, G. and Laurencot, Ph. Asymptotic Profiles of
Solutions to Viscous Hamilton-Jacobi Equations, Journal de Mathematiques Pures
et Appliques, 2004, vol. 83, no. 10, pp. 1275-1308. DOI: 10.1016/j.matpur.2004.03.002.
13. Biler, P., Guedda, M. and Karch, G. Asymptotic Properties of Solutions of
the Viscous Hamilton-Jacobi Equation, Journal of Evolution Equations, 2004,
vol. 4, pp. 75-97. DOI: 10.1007/s00028-003-0079-x.
14. Gilding, B. H. The Cauchy Problem for \(u_{t}=\Delta u+\left\vert
\nabla u\right\vert ^{q}\), Large-Time Behaviour, Journal de Mathematiques Pures et Appliques,
2005, vol. 84, no. 6, pp. 753-785. DOI: 10.1016/j.matpur.2004.11.003.
15. Gallay, Th. and Laurencot, Ph. Asymptotic Behavior for a Viscous
Hamilton-Jacobi Equation with Critical Exponent, Indiana University Mathematics Journal,
2007, vol. 56, pp. 459-479.
16. Iagar, R. and Laurencot, Ph. Positivity, Decay and Extinction for a
Singular Diffusion Equation with Gradient Absorption, Journal of Functional Analysis,
2012, vol. 262, no. 7, pp. 3186-3239. DOI: 10.1016/j.jfa.2012.01.013.
17. Bidaut-Veron, M.-F. and Dao, N. A. \(L_{\infty}\) Estimates and Uniqueness
Results for Nonlinear Parabolic Equations with Gradient Absorption Terms,
Nonlinear Analysis, 2013, vol. 91, pp. 121-152. DOI: 10.48550/arXiv.1202.2674.
18. Attouchi, A. Gradient Estimate and a Liouville Theorem for a \(P\)-Laplacian
Evolution Equation with a Gradient Nonlinearity, Differential and Integral Equations,
2016, vol. 29, no. 1-2, pp. 137-150. DOI: 10.48550/arXiv.1405.5896.
19. Iagar, R. G., Laurencot, Ph. and Stinner, Ch. Instantaneous Shrinking and
Single Point Extinction for Viscous Hamilton-Jacobi Equations with Fast
Diffusion, Mathematische Annalen, Springer-Verlag, 2017, vol. 368, pp. 65-109. DOI: 10.48550/arXiv.1510.00500.
20. Andreucci, D. and Tedeev, A. F. A Fujita Type Result for a Degenerate
Neumann Problem in Domains with Noncompact Boundary, Journal of Mathematical
Analysis and Applications, 1999, vol. 231, no. 2, pp. 543-567.
21. Andreucci, D. and Tedeev, A. F. Finite Speed of Propagation for the
Thin-Film Equation and other Higher-Order Parabolic Equations with General
Nonlinearity, Interfaces Free Bound, 2001, vol. 3, no. 3, pp. 233-264. DOI: 10.4171/IFB/40.
22. Andreucci, D. and Tedeev, A. F. Universal Bounds at the Blow-up Time for
Nonlinear Parabolic Equations, Advances in Difference Equations, 2005,
vol. 10, no. 1, pp. 89-120. DOI: 10.57262/ade/1355867897.
23. Ladyzhenskaja, O., Solonnikov, V. A. and Uralceva, N. V. Linear and
Quasi-Linear Equations of Parabolic Type, American Mathematical Society, Providence, RI, 1968.
