Область диффузионной неустойчивости для систем параболических уравнений

Ревина С. В.
Владикавказский математический журнал. 2022. Том 24. Выпуск 4.С.117-126.

Аннотация:
Рассматривается система двух уравнений реакции-диффузии в ограниченной области \(m\)-мерного пространства с краевыми условиями Неймана на границе, для которой слагаемые реакции \(f(u,v)\) и \(g(u,v)\) зависят от двух параметров \(a\) и \(b\). Предполагается, что система имеет пространственно-однородное решение \((u_0,v_0)\), причем \(f_u(u_0,v_0)>0\), а \(-g_v(u_0,v_0)=F( \mathrm{Det (\mathrm{J})})\), где \(\mathrm{J}\) - матрица Якоби соответствующей линеаризованной системы в бездиффузионном приближении, \(F\) - гладкая монотонно возрастающая функция. Предложен способ аналитического описания области необходимых и достаточных условий неустойчивости Тьюринга на плоскости параметров системы при фиксированном коэффициенте диффузии \(d\). Показано, что область необходимых условий неустойчивости Тьюринга на плоскости \(( \mathrm{Det (\mathrm{J})}, f_u)\) ограничена кривой нулевого следа, дискриминантной кривой и геометрическим местом точек \( \mathrm{Det (\mathrm{J})}=0\). Найдены явные выражения кривых достаточных условий и доказано, что дискриминантная кривая является огибающей семейства этих кривых. Показано, что одна из границ области неустойчивости Тьюринга состоит из фрагментов кривых достаточных условий, выражается через функцию F и собственные значения оператора Лапласа в рассматриваемой области. Найдены точки пересечения кривых достаточных условий и показано, что их абсциссы не зависят от вида функции \(F\) и выражаются через коэффициент диффузии и собственные значения оператора Лапласа. Рассмотрен частный случай \(F( \mathrm{Det (\mathrm{J})})= \mathrm{Det (\mathrm{J})}\). Для этого случая указан диапазон волновых чисел, при которых возникает неустойчивость Тьюринга. Получено разбиение полуоси \(d>1\) на полуинтервалы, каждому из которых соответствует свое минимальное критическое волновое число. Точки пересечения кривых достаточных условий лежат на прямых, не зависящих от коэффициента диффузии \(d\). В качестве примеров приложений доказанных утверждений рассматриваются система Шнакенберга и уравнения брюсселятора.

Ключевые слова: системы реакции-диффузии, система Шнакенберга, область неустойчивости Тьюринга, критическое волновое число

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы