Строение сетей над квадратичными полями

Икаев С. С. , Койбаев В. А. , Лихачева А. О.
Владикавказский математический журнал. 2022. Том 24. Выпуск 3.С.87-95.

Аннотация:
Исследуется структура сетей над квадратичными полями. Пусть \(K=\mathbb{Q}(\sqrt{d}\,)\) - квадратичное поле, \(\mathfrak{D}\) - кольцо целых поля \(K\). Система \( \sigma = (\sigma_{ij})\), \({1\leq i, j \leq n }\), аддитивных подгрупп поля \(K\) называется сетью (ковром) над \(K\) порядка \(n\), если \(\sigma_{ir} \sigma_{rj}\subseteq{\sigma_{ij}}\) при всех значениях индексов \(i\), \(r\), \(j\). Cеть \(\sigma = (\sigma_{ij})\) называется неприводимой, если все аддитивные подгруппы \(\sigma_{ij}\) отличны от нуля. Сеть \(\sigma = (\sigma_{ij})\) называется \(D\)-сетью, если \(1\in\tau_{ii}\), \(1\leq i\leq n\). Пусть \(\sigma = (\sigma_{ij})\) - неприводимая \(D\)-сеть порядка \(n\geq 2\) над \(K\), причем \(\sigma_{ij}\) - \(\mathfrak{D}\)-модули. Мы доказываем, что с точностью до сопряжения диагональной матрицей все \(\sigma_{ij}\) являются дробными идеалами фиксированного промежуточного подкольца \(P\), \(\mathfrak{D}\subseteq P \subseteq K\), а все диагональные кольца совпадают с кольцом \(P\): \(\sigma_{11}=\sigma_{22}=\ldots =\sigma_{nn}=P\), причем \(\sigma_{ij}\subseteq P\) - целые идеалы кольца \(P\) при любых \(i < j\), если же \(i > j\), то \(P\subseteq\sigma_{ij}\). Для любых \(i\), \(j\) мы имеем \(\sigma_{1j}\subseteq\sigma_{ij}\).

Ключевые слова: сети, ковры, поле алгебраических чисел, квадратичное поле.

Язык статьи: Русский Загрузить полный текст  

+ Список литературы