Аннотация: Интерес к уравнениям дробного порядка, как обыкновенным, так и с частными производными, последние десятилетия неуклонно растет. Это связано с необходимостью моделирования процессов, в которых текущее состояние существенно зависит от предыдущих состояний процесса, т. е. так называемые системы с "остаточной" памятью. В работе рассматривается задача Коши для одномерного, однородного уравнения Эйлера - Пуассона - Дарбу с дифференциальным оператором дробного порядка по времени, который представляет собой левосторонний бесселев оператор дробного порядка. При этом, для пространственной переменной используется обычный дифференциальный оператор второго порядка. Показана связь между преобразованием Мейера и Лапласа, полученная с использованием преобразования Пуассона, которая представляет собой частный случай соотношения с преобразованием Обрешкова. Доказана теорема, которая определяет условия существования решения рассматриваемой задачи. При доказательстве теоремы существования решения использовалось преобразование Мейера. При этом решение задачи представляется в явном виде через обобщенную функцию Грина. Построенная для решения рассматриваемой задачи функция Грина определяется через обобщенную гипергеометрическую \(H\)-функцию Фокса.
Образец цитирования: Дзарахохов А. В., Шишкина Э. Л. Решение уравнения Эйлера - Пуассона - Дарбу дробного порядка // Владикавк. мат. журн. 2022. Т. 24, вып. 2. С. 85-100. DOI 10.46698/t3110-3630-4771-f
1. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Наука-Физматлит, 1997. 204 с.
2. Goldstein S. On diffusion by discontinuous movements and thetelegraph equation //
Quart. J. Mech. Appl. Math. 1951. Vol. 4. P. 129-156. DOI: 10.1093/qjmam/4.2.129.
3. Katz M. A stochastic model related to the telegrapher's equation //
Rocky Mountain J. Math. 1974. Vol. 4. P. 497-509. DOI: 10.1216/RMJ-1974-4-3-497.
4. Orsingher E. Hyperbolic equations arising in random models //
Stochastic Process Appl. 1985. № 21. P. 93-106. DOI: 10.1016/0304-4149(85)90379-5.
5. Orsingher E. A planar random motion governed by the two-dimensional telegraph equation //
J. Appl. Probab. 1986. № 23. P. 385-397. DOI: 10.2307/3214181.
6. Orsingher E. Probability law, flow function, maximum distribution of wave-governed random motions, and their connections with Kirchhoff's laws // Stochastic Process Appl. 1990. № 34. P. 49-66. DOI: 10.1016/0304-4149(90)90056-X.
7. De Gregorio A., Orsingher E. Random flights connecting porous medium and Euler-Poisson-Darboux equations // J. Math. Phys. 2020. Vol. 61, № 4, 041505. 18 pp. DOI: 10.1063/1.5121502.
8. Garra R., Orsingher E. Random flights related to the Euler-Poisson-Darboux equation //
Markov processes and related fields. 2016. № 22. P. 87-110.
9. Iacus S. Statistical analysis of the inhomogeneous telegrapher's process //
Statistics & Probability Letters. 2001. № 55. P. 83-88. DOI: 10.1016/S0167-7152(01)00133-X.
10. Metzler R., Klafter J. The random walk’s guide to anomalous diffusion: A fractional dynamics approach //
Physics Reports. 2000. № 339. P. 1-77. DOI: 10.1016/S0370-1573(00)00070-3.
11. Gorenflo R. R., Vivoli A., Mainardi F. Discrete and continuous random walk models for space-time fractional diffusion // Nonlinear Dynamics. 2004. Vol. 38. P. 101-116. DOI: 10.1007/s10958-006-0006-0.
12. De Gregorio A., Orsingher E. Flying randomly in \(R^d\) with Dirichlet displacements //
Stoch. Process. Appl. 2012. Vol. 122. № 2. P. 676-713. DOI: 10.1016/j.spa.2011.10.009.
13. Ватсон Г. Н. Теория бесселевых функций. М.: ИЛ, 1949. 728 с.
14. Abramowitz M., Stegun I. A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
Graphs and Mathematical Tables. N.Y.: Dover Publ. Inc., 1972. 1060 p.
15. Kiryakova V. Generalized Fractional Calculus and Applications. N.Y.:
Longman Sci. Tech. & J. Wiley, 1994. 388 p. (Pitman Research Notes in Mathematics. Vol. 301).
16. Gorenflo R., Kilbas A. A., Mainardi F., Rogosin S. V. Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications. Berlin/Heidelberg: Springer, 2016. 443 p.
17. Luchko Yu. Algorithms for evaluation of the Wright function for the real arguments’ values //
Fract. Calc. Appl. Anal. 2008. Vol. 11. P. 57-75.
18. Kilbas A. A., Saigo M. H-Transforms. Theory and
Applications. Boca Raton: Chapman and Hall, 2004. 408 p. DOI: 10.1201/9780203487372.
19. Stankovic B. On the function of E. M. Wright //
Publ. de l’Institut Mathematique, Nouvelle Ser. 1970. Vol. 10, № 24. P. 113-124.
20. Glaeske H. J., Prudnikov A. P. and Skornik K. A. Operational Calculus and Related Topics. N.Y.: Chapman and Hall/CRC, 2006. 424 p. DOI: 10.1201/9781420011494.
21. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричев О. И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые
их приложения. Минск: Наука и техника, 1987. 688 с.
22. Sprinkhuizen-Kuyper I. G. A fractional integral operator corresponding to negative powers of a certain second-order differential operator // J. Math. Anal. Appl. 1979. Vol. 72. P. 674-702. DOI: 10.1016/0022-247x(79)90257-9.
23. McBride A. C. Fractional Calculus and Integral Transforms of Generalized Functions. London: Pitman, 1979. 179 p.
24. Shishkina E. L. and Sitnik S. M. On fractional powers of Bessel operators //
Journal of Inequalities and Special Functions, Special issue to honor Prof.
Ivan Dimovski's contributions. 2017. Vol. 8, № 1. P. 49-67.
25. Shishkina E. L. and Sitnik S. M. A fractional equation with left-sided fractional Bessel derivatives of Gerasimov-Caputo type // Mathematics. 2019. Vol. 7, № 12. P. 1-21. DOI: 10.3390/math7121216.
26. Герасимов А. Н. Обобщение линейных законов деформации и их приложение к задачам внутреннего трения // АН СССР. Прикладная математика и механика. 1948. Т. 12. С. 529-539.
27. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 523 p.
