Аннотация: Работа представляет собой обзор недавно полученных результатов о конечных однородных метрических пространствах. Основным предметом обсуждения является классификация правильных и полуправильных многогранников в евклидовых пространствах по наличию у множеств их вершин свойств нормальной однородности или однородности по Клиффорду - Вольфу. Каждое конечное однородное метрическое подпространство евклидова пространства представляет собой множество вершин компактного выпуклого многогранника с группой изометрий, транзитивной на множестве вершин, причем все эти вершины лежат на некоторой сфере. Таким образом, изучение таких подмножеств тесно связано с теорией выпуклых многогранников в евклидовых пространствах. Нормальная обобщенная однородность и однородность по Клиффорду - Вольфу описывают более сильные свойства, чем однородность. Поэтому естественно сначала проверить наличие этих свойств для вершинных множеств правильных и полуправильных многогранников. Помимо классификационных результатов, статья содержит описание основных инструментов для исследования соответствующих объектов.
Образец цитирования: Berestovskii, V. N. and Nikonorov, Yu. G. On Finite Homogeneous Metric Spaces~/\!/ Владикавк. мат. журн. 2022. Т. 24, № 2. C.51-61 (in English).
DOI 10.46698/h7670-4977-9928-z
1. Berestovskii, V. N. and Nikonorov, Yu. G.
Finite Homogeneous Metric Spaces, Siberian Mathematical Journal,
2019, vol. 60, no. 5, pp. 757-773.
DOI: 10.1134/S0037446619050021.
2. Berestovskii, V. N and Nikonorov, Yu. G.
Killing Vector Fields of Constant Length on Riemannian Manifolds,
Siberian Mathematical Journal, 2008, vol. 49, no. 3, pp. 395-407.
DOI: 10.1007/s11202-008-0039-3.
3. Berestovskii, V. N and Nikonorov, Yu. G.
On \(\delta\)-Homogeneous Riemannian Manifolds,
Differential Geometry and its Applications, 2008, vol. 26, no. 5, pp. 514-535.
DOI: 10.1016/j.difgeo.2008.04.003.
4. Berestovskii, V. N. and Nikonorov, Yu. G.
Clifford -- Wolf Homogeneous Riemannian Manifolds,
Journal of Differential Geometry, 2009, vol. 82, no. 3, pp. 467-500.
DOI: 10.4310/jdg/1251122544.
5. Berestovskii, V. N. and Nikonorov, Yu. G.
Generalized Normal Homogeneous Riemannian Metrics
on Spheres and Projective Spaces,
Annals of Global Analysis and Geometry, 2014, vol. 45, no. 3, pp. 167-196.
DOI: 10.1007/s10455-013-9393-x.
6. Berestovskii, V. N. and Nikonorov, Yu. G.
Riemannian Manifolds and Homogeneous Geodesics,
Springer Monographs in Mathematics, Cham, Springer, 2020.
DOI: 10.1007/978-3-030-56658-6.
7. Berestovskii, V. N. and Nikonorov, Yu. G.
Finite Homogeneous Subspaces of Euclidean Spaces,
Siberian Advances in Mathematics, 2021, vol. 31, no. 3, pp. 155-176.
DOI: 10.1134/S1055134421030019.
8. Berestovskii, V. N. and Nikonorov, Yu. G.
Semiregular Gosset polytopes, Izvestiya: Mathematics,
2022, vol. 86, no. 4 (accepted). DOI:10.1070/IM9169.
9. Wolf, J. A. Spaces of Constant Curvature, 6th ed., AMS Chelsea Publishing,
Providence, RI, 2011. DOI: 10.1090/chel/372.
10. Berestovskii, V. N. and Guijarro, L. A Metric Characterization of Riemannian Submersions,
Annals of Global Analysis and Geometry, 2000, vol. 18, no. 6, pp. 577-588.
DOI: 10.1023/A:1006683922481
11. Berger, M. Geometry I. Universitext, Springer-Verlag, Berlin, 2009.
12. Coxeter, H. S. M. Regular Polytopes, 3d ed., New York, Dover, 1973.
13. Cromwell, P. R. Polyhedra, Cambridge, Cambridge Univ. Press, 1997.
14. Grunbaum, B. Convex Polytopes, 2nd ed., Graduate Texts in Mathematics,
221, New York, Springer, 2003. DOI: 10.1007/978-1-4613-0019-9.
15. Smirnov, E. Yu. Reflection Groups and Regular Polyhedra, 2nd ed.,
MCCME, Moscow, 2018, 56 p. (in Russian).
16. Martini, H. A Hierarchical Classification of Euclidean Polytopes with
Regularity Properties,
Polytopes: Abstract, Convex and Computational,
Proc. of the NATO Advanced Study Institute,
Scarborough, Ontario, Canada, August 20-September 3, 1993,
Eds. T. Bisztriczky et al.
Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.
NATO ASI Ser., Ser. C, Math. Phys. Sci. 440, 1994, pp. 71-96.
DOI: 10.1007/978-94-011-0924-6_4.
18. Schlafli, L. Theorie der Vielfachen Kontinuitat. Hrsg. im Auftrage
der Denkschriften-Kommission der Schweizerischen Naturforschenden Gesellschaft von J.H. Graf.
Zurich, Basel, Georg & Co, 1901.
19. Gosset, Th. On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of $n$ Dimensions,
Messenger Math., 1900, vol. 29, pp. 43-48.
20. Elte, E. L. The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces,
1912, Groningen, University of Groningen, URL:
https://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/ABR2632.0001.001, 20.03.2021.
21. Blind, G. and Blind, R. The Semiregular Polytopes,
Comment. Math. Helv., 1991, vol. 66, no. 1, pp. 150-154.
DOI: 10.1007/BF02566640.
22. Dutour Sikiric, M. URL: http://mathieudutour.altervista.org/Regular/, 20.03.2021.
